線形代数の問題について

ℝ^2の基底U=｛(1,2),(1,3)}を基底V=｛(2,1),(1,1)}に変換する。あるベクトルのUに関する成分を(x1,x2)とする。Vに関する成分(y1,y2)を(x1,x2)を用いて表せ。
この問題の解法を教えて頂きたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/20 04:06

ℝ^2の基底U=｛(1,2),(1,3)}を基底V=｛(2,1),(1,1)}に変換する。

あるベクトル↑xの
Uに関する成分を(x1,x2)
Vに関する成分を(y1,y2)
とすると
↑x=x1(1;2)+x2(1;3)=y1(2;1)+y2(1;1)

(1,1)(x1)=(2,1)(y1)
(2,3)(x2).(1,1)(y2)

両辺に左から
(1,-1)
(-1,2)
をかけると

(1,-1)(1,1)(x1)=(1,-1)(2,1)(y1)
(-1,2)(2,3)(x2).(-1,2)(1,1)(y2)

(-1,-2)(x1)=(1,0)(y1)
(3.,5.)(x2).(0,1)(y2)

(-1,-2)(x1)=(y1)
(3.,5.)(x2).(y2)

-x1-2x2=y1
3x1+5x2=y2
∴
y1=-x1-2x2
y2=3x1+5x2

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/20 10:02

両方ともR^2の成分にすると

x1(1,2)+x2(1,3)=y1(2,1)+y2(1,1)
これは2元の連立方程式だから簡単にとける

x1、x2を縦ベクトルx
y1、y2を縦ベクトルy
U、Vは基底(縦ベクトル)が並んだ行列とすると

Ux=Vy

y=V^(-1)Ux

これを計算しても解ける。

この回答へのお礼

成る程です。
勉強になりました。
ありがとうございます！

お礼日時：2021/12/20 19:52