あんまり意味がわからないです。何をしてるのかもわかりません。 y = C x^n に直交する曲線族を

あんまり意味がわからないです。何をしてるのかもわかりません。

y = C x^n に直交する曲線族を求めなさい

(解)
y = C x^nを解とする微分方程式は, 与式とこれを微分したy' = C n x^n-1とからCを消去した y' = n y/x で与えられる....

教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/01/11 12:27

[1]

　　y = C x^n
というのは（１本の曲線ではなくて）一つの曲線族を指している。すなわち曲線
　　u(C) = {(x,y) | y = C x^n}
の集合
　　U = { u(C) | C∈R }
という曲線族を表す。
[2]「Uと直交する曲線v」とは、v上の各点(x,y)ごとに、そこでvと交点を持つ曲線u(C) (従って C=y/(x^n)）について「曲線u(C)とvとが直交する」という曲線v。
[3] さて、問題が求める曲線族Vとは、Uと直交する曲線v全部の集合、ってこってす。
[4] そして(解)においては、まずUを「ある微分方程式の解の集合」という形に表した。もちろんVを「別の、ある微分方程式の解の集合」として表すことを目指しているわけです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。ちょとわかったようなきがします。あと、こってす はどういう意味ですか？

お礼日時：2022/01/11 13:20

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/01/11 12:35

masterkoto補足

y'は座標(x,y)における与式の接線の傾きを意味しています
一方求めるべき曲線族の(x,y)における接線の傾きは-1/y'でないといけません
(直交する２直線は、その傾きの積が-1だから)
こういう理由のため　y'の式が欲しいところですが
この問題ではy' = C n x^n-1の形より
y' = n y/x のほうが利用しやすいという事なんでしょうね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。概観がみえたような気持がしました。

お礼日時：2022/01/11 13:21

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/01/11 12:26

y = C x^nの両辺をｘについて微分すると

(d/dx)y=(d/dx)(C x^n) ←←←右辺はCという係数付きの式を微分
⇔y'=C(x^n)'　←←←　係数Cは外へだして微分しても結果は同じ
⇔y'=C{n(x^[n-1])} 　←←←x^nを微分するとnが係数になり
　　　　　　　　　　　　　　xは次数が１つ下がる・・・基本

(x≠０のとき)
y' = C n x^n-1…①が得られたので
y=Cx^n（与式)・・・②で辺々（左辺同士、右辺同士）割り算
→左辺=y'/y
右辺=(C n x^n-1)/(Cx^n)
= (n x^n-1)/(x^n)
=n/x

∴y'/y=n/x⇔y'=ny/x という微分方程式が得られたということですね

この回答へのお礼

ありがとうございますあのごめんなさい。私は、なんで急にy = C x^nを解とする微分方程式をもとめるかわかりませんでした。

お礼日時：2022/01/11 13:12