2次元ナヴィエ－ストークス方程式の解

下記のP５には

『理論が示しているように，2次元ナヴィエ－ストークス方程式の解は何回でも微分が可能である．』

と書かれています。この文章だけを読むと、イマイチ意味が解かりません。この「解は何回でも微分が可能である」の意味が解かるような資料を教えて下さい。

https://mathsoc.jp/publication/tushin/1802/1802o …

質問者からの補足コメント

• 

  『この方程式の数学的な妥当性は、2次元の場合はすでに証明されていますが、、、、』
  
  どういうことですか？
  
  https://yumenavi.info/lecture.aspx?GNKCD=g007213

    補足日時：2022/01/20 10:58

• 

  ナヴィエ－ストークス方程式は、２次元と３次元で、何がどう違うのですか？？？？

    補足日時：2022/01/20 11:06

• 

  流れを複素数（２次元）で表している本があるのですが、
  2次元ナヴィエ－ストークス方程式→複素数（２次元）
  との繋がり、関連が記載されていません。（読み飛ばしているのかもしれませんが、、汗）
  
  どこかに載ってないでしょうか？

    補足日時：2022/01/21 10:11

No.1 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2022/01/21 08:59

>「解は何回でも微分が可能である」の意味が解かるような資料を教えて下さい。

数学的には「解がC^∞級の関数」という事になりますが、この方が分かりやすかったりするのでしょうか

> 『この方程式の数学的な妥当性は、2次元の場合はすでに証明されていますが、、、、』
滑らかな解を持つ事が証明されているという事でしょう。

> ナヴィエ－ストークス方程式は、２次元と３次元で、何がどう違うのですか？？？？
2次元の空間を考えているかか3次元の空間を考えているかが違います


これで回答になるのかよくわかりませんが、どれもほぼ書いてある通りの意味でこれ以上平易な言葉で置き換えるのは難しい気がします。何が分からないのか、どこまではわかるのかもっと具体的に書いた方が良いでしょう。例えば「微分の意味は分かるけど微分可能の意味がわからない」とかね。

この回答へのお礼

＞数学的には「解がC^∞級の関数」という事になりますが、この方が分かりやすかったりするのでしょうか
＞滑らかな解を持つ事が証明されているという事でしょう。

イメージはわかりました。

sin x,cos x,e^xsinx,cosx,e^x は何回でも微分できるので C∞級なのですね。
具体的な例題があれば、わかりやすいですね。

＞2次元の空間を考えているかか3次元の空間を考えているかが違います

2次元の空間の場合、「解がC^∞級の関数」つまりe^x のような解が得られる。
それに対して、
3次元の空間の場合、「解がC^∞級の関数」つまりe^x のような解が得られてない。
ということですか？

3次元ナヴィエ－ストークス方程式が滑らかな解を持つということは、「何回でも微分が可能である」（＝e^x のような解）が得られるはずだということでしょうか？

お礼日時：2022/01/21 09:43

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2022/01/21 18:04

細かい証明の内容までは調べてませんが、(一定の条件を満たす初期条件・境界条件に対応する)解が滑らかである事が2次元では証明されています。

一方、3次元では証明も反証もされていない未解決問題です。(ミレニアム検証問題の１つです)

物理である以上何らかの量が発散するという状況は望ましくないので、物理法則の解は滑らかであって欲しいのですが、3次元ナビエストークス方程式がその性質を持つかは誰にも答えられません。

この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。

わかりました。
流体力学の本を、眺めたのですが（読んではいません）、興味のない情報ばっかりで、うんざりしました。
まず、何が問題なのかさえ、、（私が）理解出来てない状態です。
でも考えると、興味があるのはナヴィエ‐ストークス方程式で、流体力学ではないことに気がつきました。
ナヴィエ‐ストークス方程式について書いてある本がありますので、それを見てみます。（取り敢えず眺めてみます。）

お礼日時：2022/01/21 18:34