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<a, b>=a1 b1+a2 b2①
<a, b>=|a||b|cosθ②
に関して、<a, b>からどのようにして①②の式が作れたのでしょうか?

詳しく教えて下さい。

質問者からの補足コメント

  • 補足で申し訳ありません。

    画像の赤い下線部の式に関して、なぜv=(-2,11)の時赤い下線部の式は成り立たないとわかったのでしょうか?
    正規直交基底を表す1と導かれなかったためでしょうか?

    「<a, b>=a1 b1+a2 b2① 」の補足画像1
      補足日時:2022/03/16 15:59
  • ありがとうございます。
    ちなみになぜv=(v・e1)e1+(v・e2)e2はe1やe2が、正規直交基底でないと成り立たないとわかったのでしょうか?

    また、e1=(4/5,3/5)
    e2=(-3/5,4/5) としてeが正規直交基底の時、vの座標いくつになるのでしょうか?

    また、e1=(4/5,3/5)の時、どうやって(e1,e1)=1と導いのでしょうか?
    過程の計算を教えて頂けないでしょうか?

    最後に(a1,a1)のように、同じaのベクトルが時だけ、必ず(a1,a1)=1となりvの式v=(v・e1)e1+(v・e2)e2からどんな座標が導かれても成り立つわけでしょうか?

    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2022/03/17 08:47
  • endlessriverさま、
    新しく質問を投稿させて頂きました。


    出来れば、endlessriverさんの解説はわかりやすいねで

    https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12852208.html

    の解説もして頂けるとありがたいです。

    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2022/03/17 10:22

A 回答 (12件中1~10件)

> わかりました。

そうします。

↓これかな?
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12852619.html
答えといたよ。
向こうの質問で私が確認したかったことが
こちらの質問には書いてあった。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
質問を補足させて頂いたので答えて頂けると大変助かります。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2022/03/17 10:19

だから別の質問は新たにすればよいんだよ。

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この回答へのお礼

わかりました。そうします。
ありがとうございます。

お礼日時:2022/03/17 09:44

質問と無関係な、質問を繰り返して、引っ張る意図は何か?

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この回答へのお礼

すいません。質問に対する解説が知りたいためです

お礼日時:2022/03/17 09:38

正規というのは大きさが1という意味。



基底同士が直交してたり、大きさが1である必要はないが

v=a1e1+a2e2

で、a1、a2を求めると

v・e1=a1|e1|²+a2(e1・e2)
v・e2=a1(e1・e2)+a2|e2|²

だから

a1=((v・e1)|e2|²-(v・e2)(e1・e2))/(|e1|²|e2|²-(e1・e2)²)
a2=(-(v・e1)(e1・e2)+(v・e2)|e1|²)/(|e1|²|e2|²-(e1・e2)²)

と少しめんどくさい。

e1、e2を
|e1|=|e2|=1
e1・e2=0

となる基底を選んでおけば

v・e1=a1
v・e2=a2

とかけるから、正規直交基底なら
v=(v・e1)e1+(v・e2)e2
とシンプルにかけるってこと。
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>なぜv=(-2,11)の時赤い下線部の式は成り立たないとわかったのでしょうか?



e1とe2が正規直交基底じゃないから。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
-2がe1、11かe2だと思いますが、なせ正規直交基底ではないのでしょうか?
座標のxとyが同じ値ではないためでしょうか?
また、仮にそうだとしたら正規直交基底ではないため1になると思いますが、なぜ(-50,275)といった座標が導かれたのでしょうか?

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2022/03/16 16:46

<a, b> から ① ② の式を作るには、 まず


① ② 以外の方法で <a, b> を定義しなければならない。
その定義から ① ② の式が成立することが示せるか?
という話になる。
君は、(あるいは君が引用している教科書は)
① ② が成り立つような <a, b> をどうやって定義した?
ひとくちに「内積」といっても、いろいろな種類のものがあり、
どの内積でも ① ② が成り立つわけではないよ。
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<a,b>は座標ではありません


(a,b)も座標ではありません
aはベクトルです
bもベクトルです

<a, b>=a1 b1+a2 b2①

R^2=(2次元実ベクトル空間)
a=(a1,a2)∈R^2
b=(b1,b2)∈R^2
の時
<a, b>=a1 b1+a2 b2
と定義される
標準内積です

①は2次元実ベクトル空間R^2の標準内積の定義なのです

実ベクトル空間 V 上の二変数の写像<,>:V×V→Rが内積であるとは、それが非退化正定値の対称双線型形式であるときに言う。
したがって
内積が定義されるベクトル空間 V が異なれば全く違う内積になるのです
また
1つのベクトル空間 V を定めたとしても

一つのベクトル空間に定義される内積は 一つとは限らないのです

したがって
<a,b>から①②の式は作れません
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この回答へのお礼

mtrajcpさん、いつもいつもありがとうございます。
出来れば以下の質問にもお答えして頂けると大変助かります。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12852208.html

お礼日時:2022/03/16 15:58

図のとおり。

「<a, b>=a1 b1+a2 b2① 」の回答画像5
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高校数学では平面ベクトル



  a↑= (a1, a2)
  b↑= (b1, b2)

に対し

  a↑・b↑= |a↑||b↑|cosθ (θはa↑とb↑のなす角)

で内積を定義するのが普通。<a↑, b↑> という記号は使わない。

  |a↑||b↑|cosθ= a1b1 + a2b2

であることは以下のように証明する。

 OA↑、OB↑の終点を結んでできる三角形 OAB において
  a↑= OA↑, b↑= OB↑
とすると
  AB = |AB↑| = |OB↑- OA↑| = |b↑- a↑|.
 余弦定理より

  |a↑|^2 + |b↑|^2 - 2|a↑||b↑|cosθ = |b↑- a↑|^2.

  左辺 = a1^2 + a2^2 + b1^2 + b2 ^2 - 2|a↑||b↑|cosθ
  右辺 = (b1-a1)^2 + (b2-a2)^2
     = a1^2 + b1^2 - 2a1b1 + a2^2 + b2^2 - 2a2b2

 右辺から左辺をひくと

  2|a↑||b↑|cosθ- 2(a1b1 + a2b2) = 0.
  ∴|a↑||b↑|cosθ= a1b1 + a2b2.
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この回答へのお礼

いつもいつも有り難う御座います!

お礼日時:2022/03/17 01:06

②は「正射影ベクトル」を検索しよう。


高校では①の定義から入るらしいが
抽象的過ぎると思う。
①は角度の加法定理で②に変換できる。
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