<a, b>=a1 b1+a2 b2① <a, b>=|a||b|cosθ② に関して、<a, b>

<a, b>=a1 b1+a2 b2①
<a, b>=|a||b|cosθ②
に関して、<a, b>からどのようにして①②の式が作れたのでしょうか？

詳しく教えて下さい。

質問者からの補足コメント

• 補足で申し訳ありません。
  
  画像の赤い下線部の式に関して、なぜv=(-2,11)の時赤い下線部の式は成り立たないとわかったのでしょうか？
  正規直交基底を表す1と導かれなかったためでしょうか？

  
    補足日時：2022/03/16 15:59

• ありがとうございます。
  ちなみになぜv=(v・e1)e1+(v・e2)e2はe1やe2が、正規直交基底でないと成り立たないとわかったのでしょうか？
  
  また、e1=(4/5,3/5)
  e2=(-3/5,4/5) としてeが正規直交基底の時、vの座標いくつになるのでしょうか？
  
  また、e1=(4/5,3/5)の時、どうやって(e1,e1)=1と導いのでしょうか？
  過程の計算を教えて頂けないでしょうか？
  
  最後に(a1,a1)のように、同じaのベクトルが時だけ、必ず(a1,a1)=1となりvの式v=(v・e1)e1+(v・e2)e2からどんな座標が導かれても成り立つわけでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/03/17 08:47

• endlessriverさま、
  新しく質問を投稿させて頂きました。
  
  
  出来れば、endlessriverさんの解説はわかりやすいねで
  
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12852208.html
  
  の解説もして頂けるとありがたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/03/17 10:22

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/16 06:43

①は内積の定義

cosθ=cos(θ₁-θ₂)=cosθ₁cosθ₂+sinθ₁sinθ₂
cosθ₁=a₁/|a| , cosθ₂=b₁/|b|
sinθ₂=a₂/|a| , sinθ₂=b₂/|b|
|a|=√(a₁²+a₂²) , |b|=√(b₁²+b₂²)
から
① → ②

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるはど、①はcosθの指す座標(a,b)として加法定理から作られたわけですね。

あの申し訳ないのですが、

cosθ₁=a₁/|a| , cosθ₂=b₁/|b|
sinθ₂=a₂/|a| , sinθ₂=b₂/|b|
|a|=√(a₁²+a₂²) , |b|=√(b₁²+b₂²)の部分からどうやって②を求めたのかもう少し詳しく教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/03/16 11:34

No.2 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2022/03/16 07:13

一番の人と同じですッ！

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/16 08:33

②は「正射影ベクトル」を検索しよう。

高校では①の定義から入るらしいが
抽象的過ぎると思う。
①は角度の加法定理で②に変換できる。

No.4 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2022/03/16 11:35

高校数学では平面ベクトル

　　a↑= (a1, a2)
　　b↑= (b1, b2)

に対し

　　a↑・b↑= |a↑||b↑|cosθ （θはa↑とb↑のなす角）

で内積を定義するのが普通。<a↑, b↑> という記号は使わない。

　　|a↑||b↑|cosθ= a1b1 + a2b2

であることは以下のように証明する。

　OA↑、OB↑の終点を結んでできる三角形 OAB において
　　a↑= OA↑,　b↑= OB↑
とすると
　　AB = |AB↑| = |OB↑- OA↑| = |b↑- a↑|.
　余弦定理より

　　|a↑|^2 + |b↑|^2 - 2|a↑||b↑|cosθ = |b↑- a↑|^2.

　　左辺 = a1^2 + a2^2 + b1^2 + b2 ^2 - 2|a↑||b↑|cosθ
　　右辺 = (b1-a1)^2 + (b2-a2)^2
　　　　 = a1^2 + b1^2 - 2a1b1 + a2^2 + b2^2 - 2a2b2

　右辺から左辺をひくと

　　2|a↑||b↑|cosθ- 2(a1b1 + a2b2) = 0.
　　∴|a↑||b↑|cosθ= a1b1 + a2b2.

この回答へのお礼

いつもいつも有り難う御座います！

お礼日時：2022/03/17 01:06

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/16 12:22

図のとおり。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/16 15:48

<a,b>は座標ではありません

(a,b)も座標ではありません
aはベクトルです
bもベクトルです

<a, b>=a1 b1+a2 b2①
は
R^2=(2次元実ベクトル空間)
a=(a1,a2)∈R^2
b=(b1,b2)∈R^2
の時
<a, b>=a1 b1+a2 b2
と定義される
標準内積です

①は2次元実ベクトル空間R^2の標準内積の定義なのです

実ベクトル空間 V 上の二変数の写像<,>:V×V→Rが内積であるとは、それが非退化正定値の対称双線型形式であるときに言う。
したがって
内積が定義されるベクトル空間 V が異なれば全く違う内積になるのです
また
1つのベクトル空間 V を定めたとしても

一つのベクトル空間に定義される内積は 一つとは限らないのです

したがって
<a,b>から①②の式は作れません

この回答へのお礼

mtrajcpさん、いつもいつもありがとうございます。
出来れば以下の質問にもお答えして頂けると大変助かります。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12852208.html

お礼日時：2022/03/16 15:58

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/16 16:15

<a, b> から ① ② の式を作るには、 まず

① ② 以外の方法で <a, b> を定義しなければならない。
その定義から ① ② の式が成立することが示せるか？
という話になる。
君は、(あるいは君が引用している教科書は)
① ② が成り立つような <a, b> をどうやって定義した？
ひとくちに「内積」といっても、いろいろな種類のものがあり、
どの内積でも ① ② が成り立つわけではないよ。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/16 16:18

>なぜv=(-2,11)の時赤い下線部の式は成り立たないとわかったのでしょうか？

e1とe2が正規直交基底じゃないから。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
-2がe1、11かe2だと思いますが、なせ正規直交基底ではないのでしょうか？
座標のxとyが同じ値ではないためでしょうか？
また、仮にそうだとしたら正規直交基底ではないため1になると思いますが、なぜ(-50,275)といった座標が導かれたのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/03/16 16:46

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/17 04:36

正規というのは大きさが1という意味。

基底同士が直交してたり、大きさが1である必要はないが

v=a1e1+a2e2

で、a1、a2を求めると

v・e1=a1|e1|²+a2(e1・e2)
v・e2=a1(e1・e2)+a2|e2|²

だから

a1=((v・e1)|e2|²-(v・e2)(e1・e2))/(|e1|²|e2|²-(e1・e2)²)
a2=(-(v・e1)(e1・e2)+(v・e2)|e1|²)/(|e1|²|e2|²-(e1・e2)²)

と少しめんどくさい。

e1、e2を
|e1|=|e2|=1
e1・e2=0

となる基底を選んでおけば

v・e1=a1
v・e2=a2

とかけるから、正規直交基底なら
v=(v・e1)e1+(v・e2)e2
とシンプルにかけるってこと。

No.10 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/17 09:34

質問と無関係な、質問を繰り返して、引っ張る意図は何か?

この回答へのお礼

すいません。質問に対する解説が知りたいためです

お礼日時：2022/03/17 09:38