こちらに貼りました1枚目の画像の赤い下線部のanの式と、2枚目の青い下線部anの式は(z=θ、c=π

こちらに貼りました1枚目の画像の赤い下線部のanの式と、2枚目の青い下線部anの式は(z=θ、c=π/2として)同じ式だと思うのですが、なぜ2枚の式には(z-c)^k、すなわち(θ-π/2)^kがないのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• こちらが2枚目の青い下線部のanの式です。

  
    補足日時：2022/05/22 07:28

• ちなみに、
  「lim_{θ→π/2}f(θ)が発散し
  lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)が収束するとき1位の極」
  より、画像に関してf(θ)にlim_{θ→π/2}を付けた
  lim_{θ→π/2}f(θ)の式には分数(-1/(θ-π/2))が含まれるため、収束すると思い、
  (θ-π/2)f(θ)にlim_{θ→π/2}を付けたlim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)の式には分数がないため発散すると思ったのですが、
  なぜlim_{θ→π/2}f(θ)は発散し、lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)は収束したのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/05/24 11:45

• ありがとうございます。
  ちなみに、画像の質問に答えていただけるとありがたいです。
  また、以前書いていただいた
  「lim_{θ→π/2}f(θ)が発散し
  lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)が収束するとき1位の極
  
  lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)が発散し
  lim_{θ→π/2} f(θ)(θ-π/2)^2が収束するとき2位の極
  
  lim_{θ→π/2} f(θ)(θ-π/2)^2が発散し
  lim_{θ→π/2} f(θ)(θ-π/2)^3が収束するとき3位の極
  …
  
  (θ-π/2)の最小次数項が
  1/(θ-π/2)=(θ-π/2)^(-1)は1位
  1/(θ-π/2)^2=(θ-π/2)^(-2)は2位
  1/(θ-π/2)^3=(θ-π/2)^(-3)は3位
  1/(θ-π/2)^4=(θ-π/2)^(-4)は4位
  …」
  は何を伝えたかったのでしょうか？

  
    補足日時：2022/05/24 15:55

• ありがとうございます。
  ちなみに画像の理解で正しいでしょうか？

  
    補足日時：2022/05/25 13:01

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/24 16:18

(θ-π/2)f(θ)=-1+a(0)(θ-π/2)+a(1)(θ-π/2)^2+…+a(n)(θ-π/2)^(n+1)+…

θ→π/2 とすると

lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)=-1+a(0)(π/2-π/2)+a(1)(π/2-π/2)^2+…+a(n)(π/2-π/2)^(n+1)+…

lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)=-1+a(0)*0+a(1)*0^2+…+a(n)*0^(n+1)+…

lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)=-1+a(0)*0+a(1)*0+…+a(n)*0+…

lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)=-1+0+0+…+0+…
∴
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)=-1

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/24 13:30

例えば

lim_{x→+0}(1/x)
を考える時
x=0.1=1/10の時(1/x)=1/0.1=10
x=0.01=1/100の時(1/x)=1/0.01=100
x=0.001=1/1000の時(1/x)=1/0.001=1000
x=0.0001=1/10000の時(1/x)=1/0.0001=10000
x=0.00001=1/100000の時(1/x)=1/0.00001=100000
x=0.000001=1/1000000の時(1/x)=1/0.000001=1000000
x=0.0000001=1/1000000の時(1/x)=1/0.0000001=10000000
…
分母が0に近づく場合∞に発散します

lim_{θ→π/2}f(θ)=-1/±0=±∞
に
発散します

lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)=-1
に
収束します

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すいません。lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)=-1がなぜ収束するのか、こちらに書いていただいたように具体的な数値を代入して細かい過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/05/24 15:26

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/24 03:44

f(z)がz=cでk位の特異点を持つ時

z=cの近傍
0<|z-c|<R
で正則な時

f(z)=Σ_{n=-k～∞}a(n)(z-c)^n

a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}

と展開できるのです

f(z)がz=cでk位の特異点を持たなければ
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}は間違いです
a(n-k)≠(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}

変数k自体に意味はありません

この回答へのお礼

要は、f(θ)=とした時の式より、
-1/(θ-π/2)^1よりn=1で特異点を持つため、k=1位と言えるわけでしょうか？


ちなみに、
「lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)が発散し
lim_{θ→π/2} f(θ)(θ-π/2)^2が収束するとき2位の極

lim_{θ→π/2} f(θ)(θ-π/2)^2が発散し
lim_{θ→π/2} f(θ)(θ-π/2)^3が収束するとき3位の極
…」は質問の式に関係なく、あくまで例えとして書いただけでしょうか？

お礼日時：2022/05/24 11:31

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/23 03:50

違います

式の一項目だからではありません

lim_{θ→π/2}f(θ)が発散し
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)が収束するとき1位の極

lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)が発散し
lim_{θ→π/2} f(θ)(θ-π/2)^2が収束するとき2位の極

lim_{θ→π/2} f(θ)(θ-π/2)^2が発散し
lim_{θ→π/2} f(θ)(θ-π/2)^3が収束するとき3位の極
…

(θ-π/2)の最小次数項が
1/(θ-π/2)=(θ-π/2)^(-1)は1位
1/(θ-π/2)^2=(θ-π/2)^(-2)は2位
1/(θ-π/2)^3=(θ-π/2)^(-3)は3位
1/(θ-π/2)^4=(θ-π/2)^(-4)は4位
…

この回答へのお礼

解説ありがとうございます。
えと、ごめんなさい。
なぜk=1位なのかがよくわかりませんでした。

お礼日時：2022/05/23 20:31

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/22 20:56

f(θ)

は
θ=π/2
で
1位の特異点を持つから


f(θ)=-1/(θ-π/2)+…

と展開できるのです

この回答へのお礼

なるほど、式の一項目だからk=1位なのですね！
どうもありがとうございます。

お礼日時：2022/05/23 01:39

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/22 09:52

f(z)がz=cでk位の特異点を持つ時

z=cの近傍
0<|z-c|<R
で正則な時
0<|z-c|<Rで
f(z)=Σ_{n=-k～∞}a(n)(z-c)^n

a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}

と展開できるのです

f(θ)=tanθ
は
θ=π/2
で
k=1位の特異点を持つから
θ=π/2の近傍
0<|θ-π/2|<π
で正則だから

f(θ)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(θ-π/2)^n

a(n-1)=(1/n!)lim_{θ→π/2}(d/dθ)^n{(θ-π/2)f(θ)}

と展開できるのです

この回答へのお礼

なるほど、k=1位であるため
(z-c)^kはz=θ、c=π/2として(θ-π/2)^1であり、2枚目の式に(θ-π/2)がついているとわかりました。

ちなみに、特異点を持つ事はわかったのですが、なぜ特異点がk=1位にあるとわかったのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/05/22 20:22