分数の掛け算、割り算の約分について

分数の掛け算、割り算は計算の途中で分子にある数と分母にある数を同じ数で割っていきますが、なぜ途中でそのようなことをしていいのでしょうか。
分子の片方と分母の片方を同じ数で割るのは、なぜ分子と分母を同じ数でわったことになるのですか？
ずっと気になってしまって、悩んでいます。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2022/06/09 18:22

分数の掛け算は、分子同士と分母同志の掛け算になります。

割り算の場合は、除数側の分子と分母を入れ替えての掛け算になります。

分数の掛け算は、分子同士と分母同志の掛け算なので、
同じ数であれば、どちらの分子/分母に掛けても同じ結果です。
割り算は、その除数の逆数による掛け算です。
その計算過程を筆記すれば、
同じ計算をしていることが理解できるはずです。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/06/09 19:05

(a×b)÷c = (a÷c)×b = a×(b÷c).

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/09 21:46

「a で割る」と「1/a を掛ける」は同じ操作だから。

なぜそうなるかというと、それが「割り算」の定義だから。
これと掛け算の交換法則を組み合わせると、
(pa)/(qa) = {(pa)/(pq)}(a/a) = pa{1/(qa)}a(1/a)
= pa(1/a){1/(qa)}(1/a) = {pa(1/a)}{1/(qa(1/a)}
= {p}{1/q} = p/q
となる。