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正五角形ABCDEについて、対角線AC, BEの交点をFとするり△FABが二等辺三角形であることを示し、∠BFCの大きさを求めよ。
という問題で、二等辺三角形を証明する時に、円周角の定理を使いたいんです。
だけど、そのまま解こうとすると正五角形の周りに円が書かれていないので、円を追加した上で証明を進めたいのですが、証明の部分にどうやって書いたら、いいのかわかりません…
正五角形は全ての辺が等しいので、それぞれの頂点を通った円がかける〜とかでいいんでしょうか。
語彙力と無ければ図もなくてわかりにくいとは思いますがご容赦ください(>_<)
中3がわかる範囲で説明していただけると嬉しいです。

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

正5角形の定義を


全ての辺の長さが等しく、
全ての内角が等しい
とすると、合同条件から

AC=BD=CE=DA=EB

なので、正弦定理から
三角形ABC, BCD, CDE, DEA, EAB
は全て同じ半径の円に内接する。
弦の長さと円の半径が決まれば弧は決まってしまうので
三角形ABC, BCD, CDE, DEA, EABの隣り合う三角形は
共有する辺で外接円の弧を共有する。
従って、三角形ABC, BCD, CDE, DEA, EABの外接円は
一つの円になる。
故に正5角形は円に内接する。
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「正五角形は全ての辺が等しいので、それぞれの頂点を通った円がかける〜」は全然ダメだね. 5本の辺の長さが全て等しい五角形で, 円に内接しないものは存在する.



正五角形から 1点取り除いた四角形が等脚台形になって, つまりは円に内接するってことを角度の関係で示すって方針はあるかなぁ.

まあ無理に円周角の定理を使うこともないと思うんだけど....
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正五角形の各頂点がその円周上にあるような円はその正五角形の外接円である、ことをまず証明したいのですか。



あまりスマートな説明ではないかもしれませんが、具体的に角度がはっきりした方がわかりやすいかなと思うので、作図しながら確認してください。

まず、この正五角形を△ABC、△CAD、△AEDに分割します。
この3つの三角形の内角の和が正五角形の内角の和になるので、∠BAE=180°×3÷5=108°になります。
すると△BACは当然二等辺三角形なので、∠BAC=∠BCA=36°になることがわかります。

次に五角形の中心をOとします。
すると∠BOC=72°になるので、∠BAC=36°との関係から、Oはこの五角形の中心であるとともに外接円の中心でもあると言えます。
したがって、この正五角形は円に内接している、すなわちどの頂点も円周上にあると言えます。
(この部分が不安な場合は、∠BOC+∠COD+∠DOE=72°×3=216°であることと、前述の∠BAE=108°から、中心角・円周角の関係にあることをもって外接円を判断してもいいでしょう。)
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