A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
A=∫(a→b) |f(x)|dx
とする。すると
∫(x→b) |f(x)|dx≧0 (a≦x≦b)
は自明。
もし
∫(a→x) |f(t)|dt>0 (a<x≦b)
となる、xが存在したとする。すると
∫(a→b) |f(t)|dt=∫(a→x) |f(t)|dt+∫(x→b) |f(t)|dt
≧∫(a→x) |f(t)|dt>0
となり、仮定に矛盾。したがって、このような xはなく、任意のx
について
∫(a→x) |f(t)|dt=0 (a<x≦b)
となる。
あとは、#1さんのように微分すれば、f(x)=0 をえる。
No.2
- 回答日時:
f(x) としてディリクレ関数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3 …
をもってくると任意の実数 a, b に対して (ルベーグ積分の意味で)
∫(a→b) |f(x)| dx = 0
だけど x が有理数なら f(x) = 1
というのは「なし」なんだろうなぁ.
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