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res(f(z),a)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)f(z)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...①

の式に置いて、①の式の中で最も値の高い指数は(n+2)であるため z=π/2の時、(n+2)位の極を持つ、そしてz≠π/2の時は極を持たないと言う認識で正しいでしょうな?

質問者からの補足コメント

  • >> ①の式の中で最も値の高い指数は(n+2)であるため z=π/2の時、(n+2)位の極を持つ

    に関して、仮に違う場合は、なぜ①はz=π/2の時、(n+2)位の極を持つのでしょうか?

      補足日時:2022/07/27 10:10
  • 確認として、お聞きしたいことがあります。

    res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
    は間違った式で。

    正しい式は
    res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)f(z)
    あるいは、
    res(f(z),π/2) ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)f(z)}で良いで大丈夫でしょうか?

      補足日時:2022/07/28 02:32
  • 「f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
    の時
    lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=-1に収束するから

    f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

    z=π/2で(n+2)位の極を持つのです。」
    に関して

    極とは分母が0になるような時を表しますが、

    lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)
    =lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...①
    =lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
    =-1
    として、①よりz=π/2で分母が0になるのは(n+1)位の時だと思うのですが、なぜ(n+2)位なのでしょうか?
    ①の中で最も値が高い指数が(n+2)であるため(n+2)位となるとかでしょうか?

    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2022/07/28 03:58
  • ありがとうございます。

    ちなみに、なぜf(z)=tan(z)に関するローラン展開を求めるのにres(f(z),π/2)はres(tan(z),π/2)ではなく、res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)なのでしょうか?

      補足日時:2022/07/28 10:36
  • すいません。

    res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①
    ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②

    について、疑問があるのですが、

    なぜ①のn-1やnを+2して、②のようにしてから、f(z)にtan(z)/(z-π/2)^(n+1)を代入したのでしょうか?

    要は、なぜres(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n tan(z)/(z-π/2)^(n+1)ではダメなのでしょうか?

    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2022/07/29 03:19
  • ありがとうございます。

    ちなみに、
    f(z)=tan(z)
    の時
    res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)としても
    ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)と正しい式が導けるのはなぜでしょうか?

    また、
    f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n-1)
    a=π/2
    の時
    res(f(z),a)
    =1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
    としても、正しい式{1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)が導けるのはなぜでしょうか?

    最後に画像の式の時は、k=1として、
    {1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)と導けるのでしょうか?

    「res(f(z),a) =res(tan」の補足画像6
      補足日時:2022/08/02 04:12

A 回答 (16件中1~10件)

f(z)がz=aでn位の極を持つ時


res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)…①
となるのです

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
はz=π/2でn+2位の極を持つのだから①は間違いで

res(f(z),π/2)=1/(n+1)!lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)f(z)…③
でなければなりません

n≠n+2だから

n位の極とn+2の極は等しくなりません
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lim_{z→a}f(z)の式は発散し


lim_{z→a}(z-a)f(z)の式は収束する
とき
f(z)はz=aで1位の極を持つというのです
「k=1の時にf(z)が極を持つ」のではありません

lim_{z→a}(z-a)f(z)の式は発散し
lim_{z→a}{(z-a)^2}f(z)の式は収束する
とき
f(z)はz=aで2位の極を持つというのです
「k=2の時にf(z)が極を持つ」のではありません
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この回答へのお礼

読み返して、
2022.7.29 21:41について質問があるのですが、

res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
について、

①のnの項をを+2してからf(z)にtan(z)/(z-π/2)^(n+1)を代入すれば②が導けるため=に出来ると思うのですが。
なぜ=とで出来ないのですか?

それとも、f(z)がz=aでn位の極を持ち
res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①
が成り立つならば①=②と出来るのでしょうか?

お礼日時:2022/08/08 04:27

f(z)がa=π/2でn位の極をもつ時n≧1


res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)

f(z)がz=cでk位の極をもつ時n≧0
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)がz=π/2で(n+2)位の極をもつからn≧-1
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim[z->π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
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この回答へのお礼

ちなみに、
「lim_{z→a}(z-a)^(k-1)f(z)が発散し
lim_{z→a}(z-a)^(k)f(z)が収束する
とき
f(z)はz=aでk位の極を持つというのです」
に関しては、例えばk=1の時にf(z)が極を持つとしてlim_{z→a}(z-a)^(k-1)f(z)の式は発散し
lim_{z→a}(z-a)^(k)f(z)の式は収束すると言いたいのでしょうか?

また、仮にk=2の時にf(z)が極を持つ場合はlim_{z→a}(z-a)^(k-1)f(z)の式と
lim_{z→a}(z-a)^(k)f(z)の式は収束すると言うことでしょうか?

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2022/08/06 21:49

f(z)=tan(z)


の時
n≧-1の時

res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim[z->π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

だから

res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)

間違いです
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)

間違いですとの事ですが、
どんな時に
res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)を使い、どんな時にa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}を使うのでしょうか?
使い分け方を教えて頂けないでしょうか?

お礼日時:2022/08/02 18:03

f(z)=tan(z)がz=π/2で1位の極を持つから


0<r<π
C={z;|z-π/2|=r}
でtan(z)のローラン展開は
tan(z)=Σ_{n=-1~∞}a(n)(z-π/2)^n
となり
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz
a(n)=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
となり
n≧-1の時
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
となるから
n≧-1の時
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
となるのです

m≧-1の時
res(tan(z)/(z-π/2)^(m+1),π/2)
={1/(m+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(m+1)(z-π/2)tan(z)
だから
n=m+2≧1の時
n-1=m+1だから

n≧1の時
res(tan(z)/(z-π/2)^(n-1),π/2)
={1/(n-1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n-1)(z-π/2)tan(z)
となるのです

res(tan(z)/(z-π/2)^(n-1),π/2)
={1/(n-1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n-1)(z-π/2)tan(z)
から
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
を導くのではありません

res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
から
res(tan(z)/(z-π/2)^(n-1),π/2)
={1/(n-1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n-1)(z-π/2)tan(z)
を導くのです

f(z)がz=cでk位の極を持つとき
0<|z-c|<Rで
f(z)=Σ_{n=0~∞}a(n-k)(z-c)^(n-k)
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
となるのです

f(z)=tan(z)がz=π/2で1位の極を持つから
0<|z-π/2|<πで
tan(z)=Σ_{n=0~∞}a(n-1)(z-π/2)^(n-1)
a(n-1)=(1/n!)lim_{z→π/2}(d/dz)^n{tan(z)(z-π/2)}
となるのです
だから
n≧-1の時
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
となるのです
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

f(z)=tan(z)
res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)として
res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)から
={1/(n-1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n-1)(z-π/2)tan(z)を導けますでしょうか?

お礼日時:2022/08/02 16:59

(極の定義)


f(z)とaに対して
lim_{z→a}(z-a)^(k-1)f(z)が発散し
lim_{z→a}(z-a)^(k)f(z)が収束する
とき
f(z)はz=aでk位の極を持つというのです

f(z)がz=aでk位の極を持つかどうかは

lim_{z→a}(z-a)^(k-1)f(z)が発散するかどうか
lim_{z→a}(z-a)^(k)f(z)が収束するかどうか

計算しなければわかりません

n≧-1の時
f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

場合は
tan(z)=sin(z)/cos(z) の分母がz=π/2の時0になるから
lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+1)f(z)=lim_{z→π/2}tan(z)=∞に発散し
lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=-1に収束するから
f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)が
z=π/2で(n+2)位の極を持つ
のです
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違います


式tan(z)/(z-π/2)^(n+1)が極を持てるような時ではありません

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はn≧-1の時いつでもz=π/2を(n+2位の)極にもつのです

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)がz=π/2でn+2位の極を持つから

res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
が成り立つのです

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はn≦-2の時z=π/2で正則で極を持たないからコーシーの積分定理から
0<r<π
C={z||z-π/2|=r}
の時
積分が
∫_{C}tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz=0
になるから

a(n)={1/(2πi)}∫tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz=0
a(n)=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)=0

a(n)=0
という
a(n)の式が作れるのです
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
今回の式tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はn≧-1の時いつでもz=π/2を(n+2位の)極に持っていましたが、どんな式にも必ず「極」を持ってはいるのでしょうか?

お礼日時:2022/07/30 09:56

res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①


={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
は間違いです

res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①

{1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②

f(z)がz=aでn位の極をもつならば
res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①
が成り立つけれどもそうでなければ間違いです

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)がz=π/2でn+2位の極を持つから
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
が成り立つのです

①はn位の極の場合
②はn+2位の極の場合
だからnとn+2が等しくなるはずはないのです

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はz=π/2でn+2位の極を持つから

lim[z→π/2]tan(z)/(z-π/2)=∞に発散するから

1/(n-1)!lim[z->π/2](d/dz)^(n-1)(z-a)^n tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(n-1)!lim[z->π/2](d/dz)^(n-1){tan(z)/(z-π/2)}
=∞
に発散するからダメ
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

なるほど、式tan(z)/(z-π/2)^(n+1)が極を持てるような時の式の時にa(n)の式にtan(z)/(z-π/2)^(n+1)を代入するとわかりました。

では、res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②以外の式はすべて∞になるわけでしょうか?

また、今回は使った式tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は極がありましたが、仮に「極が無い式」などの場合はa(n)の式自体は作れないわけでしょうか?

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2022/07/30 09:08

> res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①


> ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
> について、疑問があるのですが、

ほら、また。
① の n は f(z) が z=a に n 位の極を持つ... の n で、
② の n は f(z) = tan(z)/(z-π/2)^(n+1) という f( ) の定義に含まれる n。
全然違うものを、ひとつの式の中で同じ文字で表したら混乱するのは当然。
f( ) とか a とか n とかが何を表すのか確認しろって No.5 でも書いたんだけど?
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tan(z)



0>|z-π/2|<π
でのローラン展開を
tan(z)=Σ_{n=-1~∞}a(n)(z-π/2)^n
とする
0<r<π
C={z||z-π/2|=r}
とすると

a(n)=1/(2πi)∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
となるから

a(n)=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)

n=-1とすれば

a(-1)=res(tan(z),π/2)
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