修正して頂いた画像を使用させていただき改めて質問させて頂きます。 画像において、直接fとgのx軸の点

修正して頂いた画像を使用させていただき改めて質問させて頂きます。

画像において、直接fとgのx軸の点πでの距離の自乗がグラフの図の-π〜πの範囲の面積を表す赤い下線部の式√∫_{-π～π}({f(x)-g(x)}^2)dxとなぜ等しいのでしょうか？

また、直接fとgのx軸の点πでの距離の自乗がグラフの図の-π〜πの範囲の面積を表す赤い下線部の式√∫_{-π～π}({f(x)-g(x)}^2)dxと等しいわかった事でなにわかるようになったのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  
  「||f-g||^2はx軸の点πでの距離の自乗」
  は間違いであり、
  正しくは
  「||f-g||^2はx軸の点πでの距離の差の自乗」
  だとわかりました。
  私が間違えていました。
  
  赤い下線部ではなく、点πでの二つの直線の差の自乗の差が青い下線部と等しいとわかり、定義してみた結果、公理を満たすから距離と呼んでよいものだとわかりました。
  
  この定義は距離は何を計算する際で何を距離(変数)を定義するかで、その距離が求まるとわかりました。

  
    補足日時：2022/08/24 04:14

• ありがとうございます。
  
  ありがとうございます。
  
  「||f-g||^2はx軸の点πでの距離の自乗」
  は間違いであり、
  正しくは
  「||f-g||^2はx=-πからπまでのf(x)とg(x)の差の自乗の積分」
  だとわかりました。
  私が間違えていました。
  　
  赤い下線部ではなく、点πでの二つの直線の差の自乗の差が青い下線部と等しいとわかり、定義してみた結果、公理を満たすから距離と呼んでよいものだとわかりました。
  
  この定義は距離は何を計算する際で何を距離(変数)を定義するかで、その距離が求まるとわかりました。

  
    補足日時：2022/08/24 09:47

• 画像を間違えました。
  
  
  mtrajcp様、ありものがたり様
  ありがとうございます。
  
  「||f-g||^2はx軸の点πでの距離の自乗」
  は間違いであり、
  正しくは
  「||f-g||^2はx=-πからπまでのf(x)とg(x)の差の自乗の積分」
  だとわかりました。
  私が間違えていました。
  　
  赤い下線部ではなく、点πでの二つの直線の差の自乗の差が青い下線部と等しいとわかり、定義してみた結果、公理を満たすから距離と呼んでよいものだとわかりました。
  
  この定義は距離は何を計算する際で何を距離(変数)を定義するかで、その距離が求まるとわかりました。

  
    補足日時：2022/08/24 09:48

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/24 09:33

「||f-g||^2はx軸の点πでの距離の自乗」

は間違いであり、
「||f-g||^2はx軸の点πでの距離の差の自乗」
も間違いです
「||f-g||^2はx軸の点πでの距離の差の自乗の積分」
も間違いです
「||f-g||^2はx=-πからπまでのf(x)とg(x)の差の自乗の積分」
です

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/24 07:58

＞ 点πでの二つの直線の差の自乗の差が青い下線部と等しいとわかり

まだ間違ってる。
青い下線部は、点πでの二つの直線の差の自乗の差 ではなく、
二つの曲線の差の自乗を x=-π から x=π まで積分したものの平方根。
それを言葉で書くとややこしいから、誤解が少ないように、
青線の式の一行上の式で表しているわけでしょ。

この回答へのお礼

すいません。先程載せた画像に関して、

「||f-g||^2はx軸の点πでの距離の差の自乗」
は書き間違えで、
正しくは
「||f-g||^2はx軸の点πでの距離の差の自乗の積分」と
点πでの二つの直線の差の自乗の差が青い下線部と等しいとわかり、定義してみた結果、公理を満たすから距離と呼んでよいものだとわかりました。

この定義は距離は何を計算する際で何を距離(変数)を定義するかで、その距離が求まるとわかりました。

お礼日時：2022/08/24 09:20

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/24 03:49

本にはどこにも

「||f-g||^2はx軸の点πでの距離の自乗」と書いてありません間違いです

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/24 01:25

＞ 求めた結果、公理を満たすから式として成り立つ！ってわかった感じで、

＞ 何かに使うために導かれたわけではないのですね。

文章が意味不明。
定義してみた結果、公理を満たすから距離と呼んでよいものだと判った。
だから、この定義は距離として使えるってことですよ？

留数についての追加質問は、当該の質問の中でしてください。
あるいは、別に質問を建てるか。
私の回答を見かけたのなら、補足で別の質問をすることを
私がどう思い、どのように対応していたかも見たのではないかと思います。

この回答へのお礼

わかりました。新しく立ち上げるのでどうか解答をお願い致します。

お礼日時：2022/08/24 02:38

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/24 00:56

＞ もちろん、本が何を言っているのかはわかっています。

いや、解っていたら、
『 f と g の x軸の点πでの距離の自乗が
グラフの図の-π〜πの範囲の面積を表す赤い下線部の式
√∫_{-π～π}({f(x)-g(x)}^2)dx となぜ等しい』
なんて書かないでしょ。
赤い下線部の式は、
グラフの図の-π〜πの範囲の面積を表してないんだから。

＞ 質問の主旨は事は「なぜそう定義できたのか」です。

質問文は、全くそのようには書かれてないが...
ともかく、質問の主旨は判った。

なぜそう定義できたのかと言えば、そのように定義すると
定義された「 f と g の距離」が距離の公理を満たすから。
そのようなものをたまたま見つけたというわけ。
参考↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2 …
何が「距離」であるかというのは、距離を定義する公理群によって決まることで、
日常的、国語的、物理や算数的意味で「距離」という言葉の印象に合うかどうか
によって決まることではない。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

なるほど、求めた結果、公理を満たすから式として成り立つ！ってわかった感じで、何かに使うために導かれたわけではないのですね。

ちなみにres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)に関しては、
なぜ
res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)のnをすべてk位と出来たのかわかりません。

お礼日時：2022/08/24 01:13

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/23 23:10

なぜも何も、写真の解説は、

f と g の x軸の点 π での距離の自乗が
グラフの図の -π〜π の範囲の面積を表す赤い下線部の式と等しい
なんて言ってない。

それ以前に、赤い下線部の式が
グラフの図の -π〜π の範囲の面積を表す
とさえ言ってない。

赤い下線部の式は、グラフの図の太線の曲線を表していて、
それと x軸と x=-π と x=π が囲む図の着色部の面積が
「f と g の距離の２乗」の定義だと説明されている。

これが読み取れないのは、ちょっと深刻な状況かと思う。

この回答へのお礼

>> 赤い下線部の式は、グラフの図の太線の曲線を表していて、
それと x軸と x=-π と x=π が囲む図の着色部の面積が
「f と g の距離の２乗」の定義だと説明されている。

もちろん、本が何を言っているのかはわかっています。質問の主旨は事は「なぜそう定義できたのか」です。


全く関係ない事を質問して申し訳ないのですが、以前ありものがたりさんから頂いたこちらの式res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)はどうやって作ったのでしょうか？

お礼日時：2022/08/24 00:31

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/23 20:48

||f-g||^2

は
x軸の点πでの距離の自乗
ではありません間違いです
xの-πからπまでの距離の自乗を積分したものです

関数fとgの距離
|f(x)-g(x)|はxに応じて変化するので定まらないのです
だから
{f(x)-g(x)}^2を-πからπまで積分して√をとった値

||f-g||=def=√∫_{-π～π}({f(x)-g(x)}^2)dx
を
関数fとgの距離と定めるのです
は
fとgの距離の定義です

fとgの距離を右辺で定義したのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの、本には「||f-g||^2はx軸の点πでの距離の自乗」と書いてましたが、これは間違っていたわけでしょうか？
あるいは、私が誤った理解をしていたのでしょうか？

お礼日時：2022/08/24 00:33

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/23 20:46

||f-g||^2

は
x軸の点πでの距離の自乗
ではありません間違いです
xの-πからπまでの距離の自乗の積分したものの√をとった値です

関数fとgの距離
|f(x)-g(x)|はxに応じて変化するので定まらないのです
だから
{f(x)-g(x)}^2を-πからπまで積分して√をとった値

||f-g||=def=√∫_{-π～π}({f(x)-g(x)}^2)dx
を
関数fとgの距離と定めるのです

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/23 20:28

||f-g||^2

x軸の点πでの距離の自乗
ではありません間違いです

||f-g||=def=√∫_{-π～π}({f(x)-g(x)}^2)dx
は
fとgの距離の定義です

fとgの距離を右辺で定義したのです