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テイラー展開版は以下であっているでしょうか？間違いがある場合は、どこが間違っているか教えて下さい。

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質問者：akitv
質問日時：2022/09/01 23:44
回答数：1件

テイラー展開版は以下であっているでしょうか？
間違いがある場合は、どこが間違っているか教えて下さい。
どうか確認をお願い致します。

ちなみに、
「f^(n)(z)=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…
↓z=0とすると」
に関して、なぜz=0としたのでしょうか？

<テイラー展開>
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-a)^n(ローラン展開の式)より、テイラー展開はnが0と正の範囲でしか展開できないため、
n=0～∞として
f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)(z-a)^nとしてから、
テイラー展開は

↓両辺をn回数微分すると

{(d/dz)^n}f(z-a)=f^(n)(z-a)

f^(n)(z-a)= Σ_{n=0～∞}a(n)(z-a)^n...⑤

f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)(z-a)^n
f(z)=a(0)+a(1)+a(2)z^2+a(3)z^3+a(4)z^4+a(5)z^5+a(6)z^6+a(7)z^7+a(8)z^8+a(9)z^9+…
↓両辺を微分すると(1回目)
f'(z)=a(1)+2a(2)z+3a(3)z^2+4a(4)z^3+5a(5)z^4+6a(6)z^5+7a(7)z^6+8a(8)z^7+9a(9)z^8+…
↓両辺を微分すると(2回目)
f"(z)=2a(2)+3!a(3)z+4*3a(4)z^2+5*4a(5)z^3+6*5a(6)z^4+7*6a(7)z^5+8*7a(8)z^6+9*8a(9)z^7+10
…
↓両辺を微分すると(n回目)
f^(n)(z-a)=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…(※上に書いた⑤の左辺と一致する。)
↓z=0とすると
f^(n)(a)=n!a(n)
↓両辺をn!で割ると
(1/n!)f^(n)(a)=a(n)
∴
a(n)=(1/n!)f^(n)(a)

=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…
f^(n)(0z)=n!a(n)
↓両辺をn!で割ると
(1/n!)f^(n)(z)=a(n)

a(n)=(1/n!)f^(n)(z)
です

f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
から
a(n)=(1/n!)f^(n)(a)
を導きこれを
f(x)=Σ_{n=0～∞}a(n)x^n
に代入すると
画像の式になる。

この式a(n)=(1/n!)f^(n)(a)を
f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)(z-a)^nに代入して展開すると
f(z)=f(a)+f'(a)(z-a)+f''(a)/2!(z-a)^2
+ f'''(a)/3!(z-a)^3 +...となる。