複素関数にロピタルの定理を使おうとしている回答者は、複素関数論はおろか微積分学もよく分かっていない、

Question

複素関数にロピタルの定理を使おうとしている回答者は、複素関数論はおろか微積分学もよく分かっていない、と見た方がよいでしょうか？

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/13286899.html
を見ると目を疑うような光景が広がっています。
複素関数の極限にロピタルの定理…？

私の理解するところによりますと、ロピタルの定理の証明にはある種の平均値の定理を使う必要があり、平均値の定理といいますと
a<c<b
のような不等式で結ばれた実数が現れるはずであり、とすると複素数のような順序を決めがたいような数の体系では平均値の定理を持ち出すのは難しいはずであり、複素関数論の教科書にはロピタルの定理など存在し得ないはずだとこれまで考えておりましたが、私の思い違いでしょうか？

syotao · Accepted Answer

複素関数の場合ロピタルの定理の証明はある意味実数関数より単純。
それはテーラー展開の可能性が使えるからです。つまり

複素平面のある領域の各点で微分可能な複素関数は
その各点のまわりでテーラー展開可能である

を使います。
いま、f(z)、g(z)がある領域で微分可能でその領域の点aで
f(a)＝0、g(a)＝0,g’(a)≠0　としたとき
f(z)、g(z)のaのまわりのテーラー展開は
f(z)＝f’(a)(z-a)＋f”(a)(z-a)²＋・・・
g(z)＝g’(a)(z-a)＋g”(a)(z-a)²＋・・・
であり、これから
f(z)/g(z)＝｛f’(a)＋f”(a)(z-a)＋・・・}/{g’(a)＋g”(a)(z-a)＋・・・｝
となるので
z→aのときf(z)/g(z)はf’(a)/g’(a)　に収束します。

ありものがたり · Answer

←No.4 「お礼」欄について。
なぜ、ネットの引用なんかを「教科書」だと思うのか？
普段そんな勉強のしかたをしているから、毎度
拘りだけで内容のない質問をすることになるんだと思う。

ありものがたり · Answer

成立は自明として、複素関数の場合に
それを「ロピタルの定理」と呼んでいいのかどうか
に拘っているのかな？

世間の声を聞くと...
実関数に限定している例↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%94%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
複素関数で「ロピタル」と呼んでいる例↓
https://www.mathema.jp/wp-content/uploads/2017/11/08e016de25480c6f3282a208d03e1409.pdf

複素関数でロピタルと呼んでも、言いたいことは伝わるだろうし、
成立は自明だし、そんなとこに引っかかる気持ちが解らん。

tknakamuri · Answer

私の手元にあるワイリーの工業数学では
コーシー積分を使った証明が載ってる。

複素関数論ではごく普通に使われている手法だと思う。

ありものがたり · Answer

分子分母をテイラー近似してごらんなさい。
複素関数でもロピタルでよいことが解るから。

複素関数にロピタルの定理を使おうとしている回答者は、複素関数論はおろか微積分学もよく分かっていない、

複素関数の場合ロピタルの定理の証明はある意味実数関数より単純。

←No.4 「お礼」欄について。

成立は自明として、複素関数の場合に

私の手元にあるワイリーの工業数学では

分子分母をテイラー近似してごらんなさい。

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