制御工学の問題です。

ナイキスト安定判別の問題について、
開ループの伝達関数がGs(0)=1/(s+1)^2で与えられる場合のフィードバック系の安定性をナイキスト安定判別を用いて説明しなさい。
と言う問題で、
ω=0で実部1,虚部=0
ω=1で実部0,虚部=-1/2
ω=∞で実部0,虚部=0
ナイキスト軌跡は横向きのハート？の形になり、回転数は0
極は-1と-1の重根で安定なので不安定極の数は0
よってこのシステムは安定
これで合っていますか？
間違っていれば解説お願いします。

質問者からの補足コメント

• 伝達関数が1/(s-1)^2のような符号が違うだけの場合も安定ですよね？
  追加で質問なのですが、伝達関数が1/sの場合は安定になるのでしょうか？
  不安定極の数がよく分からないもので。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/12/30 17:56

• 0以上の整数で不安定なので、1と1の重根で、不安定ってことですよね？
  また、伝達関数が1/sの時の不安定極の導出を教えていただきたいです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/12/30 20:45

• 気になったのですが、なぜ伝達関数に1を足しているのですか？
  この問題が一巡伝達関数だと仮定しているからでしょうか？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/12/31 14:58

• この質問元の伝達関数1/(s+1)^2は1を足していないまま解いています、なぜ合ってると回答したのですか？

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/01 10:00

• だから回転数を見るときに(-1,0)を基準にするのですね

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/01 15:49

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/01/01 12:20

>質問元の伝達関数1/(s+1)^2は1を足していないまま解いています

それで良いのです。
ナイキストでは1を足す代わりに
回転を数える為の中心を-1ずらしているのですから。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/12/31 19:50

>気になったのですが、なぜ伝達関数に1を足しているのですか？

開ループ伝達関数をG
検出系(フィードバック系)伝達関数をHとすると
系全体の伝達関数は
G/(1+GH)
だからです。
系全体の伝達関数の極=1+GHの零点
がシステムの安定性を決定します。
#伝達関数の極が複素平面の虚軸より右側にあれば不安定

ナイキストで-1の点のまわりの回転数を求めるのも
このためですよ。
本当は1+GHの原点まわりの回転を求めているのです。

使う前に意味を理解しましょう。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/12/30 21:20

>0以上の整数で不安定なので、1と1の重根で、不安定ってことですよね？

いえ。No.2 に書いたように (s²-2s+2) の零点が 1±j
で実部が正だからです。

「0以上の整数」とか「重根」とかどっから出てきたんでしょう？

>伝達関数が1/sの時の不安定極の導出を教えていただきたいです。

一巡伝達関数 + 1 = 1/s + 1 + = (s+1)/s で
零点は -1 だから安定です。

普通に
閉ループ伝達関数 = (1/s)/(1+1/s) = 1/(s+1)
としても、極が -1 だから　安定は明らか。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/12/30 19:04

一巡伝達関数が1/(s-1)²の場合

1+1/(s-1)²=(s²-2s+2)/(s-1)²
は実部が正の零点を持つので不安定です。

そもそもナイキスト判別法は
一巡伝達関数 G(s)に対する閉ループ伝達関数の分母
1+G(s)が、正の実部の零点を持つか判別するためのもの。
ナイキストは伝達関数が複雑な場合の手法で
単純な伝達関数なら因数分解した方か簡単です。

閉ループ伝達関数が不安定とは
閉ループ伝達関数が―個以上実部が正の極(ポール)を持つことです。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/12/30 16:32

答えは合っていると思うけど、質問内容が情報不足。

開ループゲインは検出系(フィードバックのゲイン)を含まないので
おそらくフィードバックゲインが1を仮定しているのでしょう。
そうでない場合はナイキスト線図は開ループゲインからは描けません。
一巡ゲインが必要です。
問題を正確に伝えるようにしましょう。