ある無理数に限りなく近い有理数は無理数ですか、有理数ですか。

Question

ある無理数には、それに近い有理数をどこまでも作ることができます。例えば作り方のひとつを言います。
nは自然数だとして、n桁が無理数πと一致するような関数をf(n)とします。f(n)は絶対に有理数です。この関数は、
f(1)=3
f(2)=3.1
f(3)=3.14
のようになります。
すると、
lim(n→∞)f(n)=πですよね。

他にも無理数に近い有理数の作り方はあると思います。そういうので、どんどん無理数に接近するように有理数を作っていくとします。

で、最初の質問に戻ります。

「ある無理数に限りなく近い有理数は無理数ですか、有理数ですか」

もしも、これの答えが無理数だとすると、対称の数は有理数だという前提と矛盾します。答えが有理数だとするとlimの式が間違っていることになります

どうしたらいいのですか。

ShowMeHow · Answer

f:Ｚ→R　を前提とするなら、f(∞)は定義されていませんので、
ｆ（n）　(ｎ∈Ｚ)　はどんな場合でも有理数となると思う。

usa3usa · Answer

>答えが有理数だとするとlimの式が間違っていることになります
なぜ？

銀鱗 · Answer

(´・ω・`) そもそも「有理数」と定義しているんだから「有理数」だよ。
”近い” ってだけで ”等しくない” ということを念頭に入れて考えるようにしましょう。

kairou · Answer

＞ある無理数に限りなく近い有理数は無理数ですか、有理数ですか

「ある無理数に限りなく近い有理数」は 有理数です。
でも その有理数は 初めの無理数とは 異なる数字です。
尚、質問に有る lim の式は、lim(n→∞)f(n)=π ではなく、
強いて言えば lim(n→∞)f(n)≒π となります。＝ には なりません。

例えば、円周率は 無理数です。
従って ギリシャ文字の π(ﾊﾟｲ) で表します。
これを 小数点以下2桁で 区切れば 3.14 で 有理数です。
小数点以下20桁で 区切れば 3.14159265358979323846 で 有理数です。
つまり 便宜上 概数として有理数で 表しているだけで、
厳密には 円周率ではありません。

ありものがたり · Answer

この際、「ある無理数に限りなく近い」のことは忘れてみましょう。
「〇〇な有理数は無理数ですか、有理数ですか」 →有理数に決まってますよね。
有理数列の極限が無理数になる場合でも、各項はあくまで有理数です。

stomachman · Answer

大昔にやったのを思い出した。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/32339.html

お書きのf(1),f(2),...はそれぞれ有理数です。そして、「f(1),f(2),...の無限列全体」こそが無理数の実体なんです。

Tacosan · Answer

厳密にいえば「限りなく近い」の定義を与えない限り話にならんのではないかな.

あるいは「『ある無理数に限りなく近い有理数』が存在するなら有理数」とでもいっておくかな.

usa3usa · Answer

No2です

以下の問題の回答を考えてみたらいかが？
かけっこをしているA君はB君に遅れて走っていて、C地点で追いつきました。

「A君はB君に負けている」　→　有理数
「A君はB君に負けていない」　→　無理数
「C地点で追いく直前のA君」　→　「ある無理数に限りなく近い有理数」
と言い換えて、貴方の質問に相当する
「C地点で追いく直前のA君は　「B君に負けていない」ですか、「B君に負けている」ですか」
の回答を考えてみてください。

mtrajcp · Answer

ある無理数
r
に限りなく近い有理数
a
が存在すると仮定すると
a<b<r,またはr<b<a
となる有理数
b
があり
|b-r|<|a-r|
となって
bはaよりもrに近いから
a
が
r
に限りなく近い有理数
である事に矛盾するから

ある無理数に限りなく近い有理数は存在しない

mtrajcp · Answer

ある無理数
r
に限りなく近い有理数
a
が存在すると仮定すると
無理数と有理数は等しくないから
r≠a
だから
r<aまたはa<r
0<|r-a|だから
実数1/|r-a|がある
1/|r-a|<n となる自然数nがある
↓両辺に|r-a|/nをかけると
1/n<|r-a|

r>aのとき
1/n<r-a
a<a+1/n<r
b=a+1/nとするとbは有理数だから
a<b<rとなる有理数bがある
|b-r|=|a+1/n-r|=r-a-1/n<|r-a|

r<aのとき
1/n<a-r
r<a-1/n<a
b=a-1/nとするとbは有理数だから
r<b<aとなる有理数bがある
|b-r|=|a-1/n-r|=a-r-1/n<|r-a|

|b-r|<|a-r|
となって
bはaよりもrに近いから
a
が
r
に限りなく近い有理数
である事に矛盾するから

ある無理数に限りなく近い有理数は存在しない

ある無理数に限りなく近い有理数は無理数ですか、有理数ですか。

f:Ｚ→R を前提とするなら、f(∞)は定義されていませんので、

>答えが有理数だとするとlimの式が間違っていることになります

(´・ω・`) そもそも「有理数」と定義しているんだから「有理数」だよ。