写真の(1)についてですが、「4次関数が極小値を持つときのグラフの概形は図のようになる」と書かれてい

Question

写真の(1)についてですが、「4次関数が極小値を持つときのグラフの概形は図のようになる」と書かれていますが、これはそういうものなんだなと覚えるべきでしょうか？

yhr2 · Accepted Answer

はい。

4次関数は、典型的には
・４次項の係数が正なら、２つの極小値と１つの極大値を持つ（W型の曲線）
・４次項の係数が負なら、２つの極大値と１つの極小値を持つ（２コブラクダの曲線）
という形になることは、覚えておいた方がよいでしょうね。

２次関数、３次関数も同様に「典型的な形」を覚えておいた方がよいと思います。

tknakamuri · Answer

地道にグラフを描いて覚えた方が良いと思うよ。

4次式の微分は3次式だから、停留点(3次式の根)は１個か3個。
1個なら極大点が1個だ。
3個なら、3個が異なるケースと、重根＋1個が2パターンと
3重根のパターンがある。

それぞれグラフを描いてみることをお勧めします。

ponpon55555 · Answer

はい、x^4の係数が負で極小値をもつのでそういう概形になります。(もちろん右の極大値と左の極大値どちらが大きいかは判断できませんが)

4次関数に関しては他にも色々概形があります。極小値1つだけのやつもあれば極大値が１つだけのやつもあります。

ただ今回の問題はx^4の係数が負なのでこの極小値1つだけのパターンは省けます。

kairou · Answer

＞そういうものなんだなと覚えるべきでしょうか？

2次関数、3次関数を 先に習う筈です。
とすれば、4次関数のグラフの 概形は 見当つきませんか。
図に書いてあるグラフは x⁴ の係数が 負 の場合ね。
x⁴ の係数が 正 の場合は 上下 裏返しの 形になります。

ありものがたり · Answer

テキストは、ちゃんと読もうよ。
「4次関数(x⁴の係数<0)が極小値を持つとき
のグラフの概形は図のようになる」です。
x⁴の係数>0 の場合は、様子が違います。

4次関数の場合を覚えるというより、一般に
多項式で表される関数は、n次式に対して
n-1個以下の極値を持つ蛇が這ったような形で、
x→±∞ のとき f(x)→±∞ のどちらかを
n次項の係数の正負に応じてとる
ということを押さえておいたほうがよいと思います。

はい。