インテグラル（x➝0）f(t)dtをxで微分すると, f(x)となっているのですがなぜですか？

インテグラル（x➝0）f(t)dtをxで微分すると,
f(x)となっているのですがなぜですか？

No.3 回答者： kantansi 回答日時： 2023/02/28 19:43

ここで、$f(t)$は定積分が存在する関数とします。

まず、微分と積分の順序交換ができる条件として、以下の定理があります。

定理：$f(x)$が$[a,b]$上で微分可能であり、$f'(x)$が$[a,b]$上で連続であるとき、次が成立します。

$$\frac{d}{dx}\left(\int_a^x f(t) dt\right) = f(x)$$

つまり、積分の下限が定数で上限が$x$に依存する関数を微分すると、微分の結果は被積分関数の$x$における値に等しくなります。

ここで、$f(x)$という表記は、$f(x)$が積分変数である$t$に依存する関数であることを示しています。つまり、$f(x)=\int_0^x f(t) dt$という関係が成り立っているということです。

このとき、$f(x)$を微分すると、

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx}\int_0^x f(t) dt = f(x)$$

となります。

したがって、結果として$\int_0^x f(t) dt$の$x$についての微分は、被積分関数の$x$における値$f(x)$に等しくなるわけです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/28 18:49

インテグラル（x➝0）f(t)dt というのは、∫[tが0からxまで]f(t)dt のことでしょうか？

積分区間の向きが逆のように見えますけど。

結論としては、∫[tが0からxまで]f(t)dt を x で微分すると f(x) になります。
そうなる理由は、高校数学と大学以降の数学では異なります。

解析学では、積分を微分とは全く別個に定義します。そして、
(d/dx)∫[tが0からxまで]f(t)dt = f(x) が成り立つことを証明して使います。
この定理を「微積分学の基本定理」と言って、重要な定理です。

高校数学では、x で微分すると f(x) になる関数を「f(x) の不定積分」と呼び、
F(x) が f(x) の不定積分のひとつであるとき
∫[tがaからbまで]f(t)dt = F(b) - F(a) と定義します。これを「定積分」と呼びます。
積分を微分するともとの関数になるかならないかというより、
微分するともとの関数になる関数のことを積分と呼んでいるのです。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2023/02/28 18:17

ｆ(ｔ)が連続関数ならばそうなるという定理

（微積分学に基本定理）があるから。