先日、学校でn項ベクトルについて習ったのですが、
一次独立、従属がよく分かりません。
  1  2  4
  3、 1、 2
 -1  5  1
というふうに(3、1)ベクトルが3個というときは
(3,3)行列とみて、この行列式の値が0のときは、
一次従属となるんですよね。そうなると、たとえば、
4項ベクトルが3個となるとどうなるのですか。
どなたかアドバイスお願いします。

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A 回答 (4件)

ベクトルは縦ベクトルとします。


4次元ベクトルが3個の場合には、まず
4行3列の行列を作ります。次に4つの行から3つを選んで
3行3列の行列を作って、その行列式を考えます。

3つの行をうまく選んで行列式が0でなければ一次独立、
どのように3つの行を選んでも行列式が0ならば一次従属

です。うまく行列式が0でないのに当たれば計算が終わりますが、
一次従属の場合には今の場合10個の行列式を計算しなければ
ならないので大変です。

通常は掃き出し法(またはガウスの消去法)という方法を
使って計算します(行列式の計算も行列が大きくなると
掃き出し法の方が楽です)。これは機械的に計算できる
ので、コンピューターにプログラムすることもできます。
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ベクトルが次の条件を満たすとき一次独立と言います。



 k1α1 + k2α2 + … + kmαm = 0 ⇒ k1 = k2 = … = km = 0

ここで、k は定数、αは n次元ベクトルとします。
言葉で書くと m 個のベクトルの一次結合が0になるとき、自明な解 k1=k2=…=km=0
以外の解がないならばこれらの m 個のベクトルは一次独立と言います。

これの意味するところは、dyadics13 さんの書かれている
>あるベクトルの集合において、
>任意の1つのベクトルを他のベクトルの一次結合
>で表現できないことを意味します。
と同じ意味です。

ご質問の場合は、n=4,m=3 ですね。
>4次元空間に3つのベクトルがあることを意味します。
>この場合これらの3ベクトルでは高々3次元空間を表現するだけになります。
ということなのですが、上の式において m < n でも構いません。
3つのベクトルが一次独立のときは4次元空間中で3次元空間を、
一次従属ならば2次元あるいは1次元しか表現できないことになります。

ベクトル空間の次元と同じ個数のベクトルの一次独立性を調べるときには
行列式の値を計算することで確認できます。
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行列式は正方行列を前提として定義されます。


m×nの行列でm=nではない場合では基本的に
行列式を導き出せないのです。

一次独立というのは、あるベクトルの集合において、
任意の1つのベクトルを他のベクトルの一次結合
で表現できないことを意味します。

例えば3次元空間に3つのベクトルがあるとして、
これらの3ベクトルがある平面上に乗っている場合、
一次独立にはならず一次従属になります。
この場合一次独立となるにはこの平面に垂直な成分
を持つベクトルが必要となります。

一次独立なベクトルの組で、考えている空間全ての
点を表現することができます。上の一次従属の例では
平面上しか表現できませんよね。

以上のような性質を簡単に調べる方法の一つが
行列式を計算してみることです。

ご呈示の例では4次元空間に3つのベクトルが
あることを意味します。この場合これらの
3ベクトルでは高々3次元空間を表現するだけになります。
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4×4でないと行列式の値が計算できません。


もう一つベクトルを追加する必要があるはずです。
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Q「特に一個のベクトルについては、a:一次従属⇔a=

以下の説明で、aはベクトル、sはスカラーとします。

一次独立か一次従属か、どちらかである。
一次独立とは、
・どのベクトルも、残りのベクトルの一次結合にならない
・s1a2 + s2a2 + … = 0で、s1=s2=...=0以外に成立しない

これは分かりました。そして教科書には
「特に一個のベクトルについては、a:一次従属⇔a=0」
と書かれてます。しかし

・そもそも、ベクトル一個だと定義できないのでは?
・定義できるとして、利用方法があるのですか?

Aベストアンサー

n個のベクトルが一次独立だと、それらの一次結合でn次元空間を張ることができ、逆に一次従属だとn未満次元の空間しか張ることができません。ベクトルが1つの時は、ゼロベクトル以外なら、スカラー倍すれば一次元空間が張れますから一次独立、ゼロベクトルならスカラー倍してもゼロ次元空間にしかなりませんから一次従属となります。

日本語とはしっくり来ないかも知れませんが、数学における一般化主義からn=1の場合も同様に扱えるようにしているものです。例えば、「n次元ベクトル空間ではn個の一次従属なベクトルを選ぶことができる」がn=1を含む任意に自然数で成り立ちます。

Qベクトルの一次独立、一次従属の判定

ベクトル V1,V2,V3 は独立である
その時、{V1+V2,V2+V3,V3+V1}、{V1-V2,V2-V3,V3-V1} は独立か従属か判定せよ

という問題なのですが、どこから手を付けたらいいのかさっぱりわかりません(´;ω;`)

c1V1+c2V2+c3V3=0 とした時、c1=c2=c3=0 の場合が独立ということぐらいしかわからないです

Aベストアンサー

c1(V1+V2)+c2(V2+V3)+c3(V3+V1)=0 とすると
(c1+c3)V1+(c1+c2)V2+(c2+c3)V3=0
V1,V2,V3 が1次独立より
c1+c3=0 ・・・(1)
c1+c2=0 ・・・(2)
c2+c3=0 ・・・(3)
辺々足して
2(c1+c2+c3)=0
c1+c2+c3=0 ・・・(4)
(1),(4)よりc2=0
同様に c3=0, c1=0
よってV1+V2,V2+V3,V3+V1は1次独立


V1-V2=-(V3-V1)-(V2-V3)なので
V1-V2,V2-V3,V3-V1は1次従属。

Q1個のベクトルaが線形従属であることと、a=0は同値ですか?

1個のベクトルaが線形従属であることと、a=0は同値ですか?

Aベストアンサー

体 K 上のベクトル空間 V のベクトル a に関して、
a が線形従属 <----> a = 0
つまり、同値です。

--> の証明
a が線形従属より、k a = 0 を満たす K の元 k ( k ≠ 0 ) が存在します。
k ≠ 0 より、k は逆元 k ^ (-1) をもつので、k ^ (-1) を左から両辺にかけると、
k ^ (-1) ( k a ) = k ^ (-1) 0
( k ^ (-1) k ) a = 0
1 a = 0
よって、a = 0

<-- の証明
a = 0 より、1 a = 0 が成り立つ。
また、K の元 0, 1 に関して、1 ≠ 0
よって、a は線形従属。

以上で同値であることが示されましたが、

k ^ (-1) 0 = 0

が成り立つことは、きちんと証明する必要があります。

Qaベクトル=(1,2,1) bベクトル=(2,3,1) cベクトル=(3,5,2) について k・a

aベクトル=(1,2,1)
bベクトル=(2,3,1)
cベクトル=(3,5,2)
について
k・aベクトル+l・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル
になるのが
k+m=0
l+m=0
であり、この解がk=m,l=m,m=m (mは任意の実数)
となって
-m・aベクトル-m・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル
より、cベクトル=aベクトル+bベクトル
と参考書ではしていたのですが、なぜ
「k・aベクトル+l・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル」を考察することにより「cベクトル=aベクトル+bベクトル」という関係を見出すことができたのですか?

Aベストアンサー

> k・aベクトル+l・bベクトル+m・cベクトル=0ベクトル

この式の意味が解っているのですか?
0ベクトルってどういう状態?
例えば、原点からベクトルaでk倍動き、そこからベクトルbでl倍動き、そこからベクトルcで倍動いた、って事ですよね。
適当に図示して下さい。
それが0ベクトルになる。
どういう軌跡を描くでしょう?

この問題は、aベクトル+bベクトルを計算すると、=cベクトルになっちゃうところがミソというかオチです。
そんな難しいことを考察しなくても、丁度あなたがここに書いたベクトルの成分を、aとbで足してやればcになっている。
あなたのように縦に並べちゃうと問題にならない。きっと問題では横に並べていたでしょう。(笑)
つまり、たったこれだけの操作で見えてくることってあるんです。

Q(1) 箱の中に青玉が1個、黄玉が2個、赤玉が3個入っている。 玉を2個同時に取り出すとき、それらが

(1) 箱の中に青玉が1個、黄玉が2個、赤玉が3個入っている。

玉を2個同時に取り出すとき、それらが同色の玉である確率はいくらか。
教えてください

Aベストアンサー

6個ある中から無作為に2個を取り出す組合せは、全部で
 6C2 = 6!/(4!*2!) = 15 
とおり。

このうち、「同じ色」である組合せは
 ・黄+黄:これは1とおりしかない。
 ・赤+赤:これは3個から2個取り出すので、3C2 = 3とおり。

ということで、「同じ色」である確率は
 (1 + 3)/15 = 4/15


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