写真の問題についてですが、 赤線部には「x=2で極小値0をとるので、f'(2)=0」と書いてあります

写真の問題についてですが、
赤線部には「x=2で極小値0をとるので、f'(2)=0」と書いてありますが、これは青線部の1行目の
「x=2で極小値→f'(2)=0は正しい」という文と同等だと思うのですが、なぜ、a,b,cの値を求めた後、吟味しているのですか？

伝えたいことの言語化がうまくできなくてごめんなさい。また、逆に吟味しなくてもいいというのはどういう時なのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  しかし、赤線部で「x=2で極小値0を取るので」と書いてあることから、f'(2)=0は自明？なはずてはないのでしょうか？

    補足日時：2023/04/26 14:43

No.5 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/04/26 19:01

>>「x=2で極小値0を取るので」と書いてあることから

本の書き方が良く無いです。誤解を与える書き方ですね。
「x=2で極小値0を取る可能性があるので」とかです。

正式本というより、参考書なので「参考」なんです。

x=2で極小値をとる⇒f'(2)=0
この逆は無条件には成立しないから、確認しています。

青のマーカーで書いてる通りです。

No.4 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/04/26 18:36

問題は、（接線の部分を簡略化していうと）「ｘ＝2で極小値をとる関数を求めなさい。

」というものなので、f'(2)=0として該当する関数を求めました。この論理によって求められる関数は、f'(2)が極小値となる関数であるとは言い切れないわけで（この問題に関してはその他の条件よりそうなりましたが）検証が必要だということです。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/04/26 15:18

「x=2で極小値0を取る」⇒ 「f'(2)=0」ですが、

「f'(2)=0」だけでは 極大点・極小点・変曲点の どれかになります。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/04/26 14:13

f'(2)=0であっても、x＝2の時ｆ(x)が極小値になるとは限らないから

３次関数の場合、グラフを想像するとわかるけど、f'(x) が０になるのは　極小、極大、場合によっては変曲点の可能性もあるので、必ず吟味は必要になると思います。

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/04/26 14:10

f'(2)=0で極値をとるとは限らないからです。

例えば、3次関数f(x)=x³の場合
f'(0)=0ですが、x=0で極値にはなりません。
f(-1)=-1,f(0)=0、f(1)=1になり、増加関数なので、極値が有りません。

こういう事があるので、前後のxに対してf(x)の値を見て判断します。