数学 因数分解を利用した問題を教えてください。

次の問題です。
①はできました。n(n＋1)
②がわかりません。
よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/29 14:14

図の通り

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2023/04/29 14:47

① の答えが n(n+1) と分かったのですね。

掛け算の x の記号を * で表します。ココで n=1 とすると 1*2 で、
① の問題式は 1*2=(1*2*3/3)-(0*1*2)/3 ですね。
n=2 とすると n(n+1)=2*3=(2*3*4/3)-(1*2*3/3) 。
n=3 とすると n(n+1)=3*4=(3*4*5/3)-(2*3*4/3) 。
つまり 一つ置きに + と - で 消えていきます。
従って 最終結果は 最後の項の n(n+1)(n+2)/3 だけが残りますね。

※ 高校になると 数列の計算などで 時々この様に
式を分解して +, - で 簡単にできる計算が出てきます。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/29 10:27

清書してくれてありがとう。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/29 05:14

図の通り

この回答へのお礼

教えて頂きありがとうございます。せっかく回答いただいのですが、中学校の授業で発展問題としてでましたので、中３でも解けるやり方を教えてほしいです。どうかよろしくお願いします。

お礼日時：2023/04/29 10:55

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/29 00:36

①の　n(n+1)(n+2)/3 - (n-1)n(n+1)/3 = n(n+1)　を使えばいいんでしょう？

Σ[n=1..100] n(n+1) = Σ[n=1..100]{ n(n+1)(n+2)/3 - (n-1)n(n+1)/3 }
= Σ[n=1..100] n(n+1)(n+2)/3 - Σ[n=1..100] (n-1)n(n+1)/3
= { Σ[n=1..99] n(n+1)(n+2)/3 + 100(100+1)(100+2)/3 }
　- { (1-1)1(1+1)/3 + Σ[n=2..100] (n-1)n(n+1)/3 }
= Σ[n=1..99] n(n+1)(n+2)/3 + 343400
　- 0 - Σ[n=1..99] n(n+1)(n+1)/3
= 343400.