微分方程式

dy/dx=iwy+f(x)
y(0)y_0
上記の条件で解が
y(x)=e^iwxy\0+∫[ 0，x ] e^iw(x-t)f(t)dt
となるようなんですが
どうしてそうなるのでしょうか
分かる方是非お願い致します

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/09 13:26

「一階線型微分方程式」で、教科書なりネットなり検索してみ？

移項して dy/dx - iwy = f(x).
これの両辺に何か別の関数 g(x) を掛けて g(x)(dy/dx) + g(x)(-iw)y = g(x)f(x).
この左辺が積の微分公式の形になっているとウレシイことが起こるから、
g(x)(-iw) = (d/dx)g(x) であるような g(x) をひとつ見つけたい。
それが g(x) = e^(-iwx) であることは知ってるはずだし、
-iw = { (d/dx)g(x) }/g(x) を x で積分して求めることもできるだろう。

g(x) を上の式へ代入すると、 (d/dx){ g(x)y(x) } = g(x)f(x) となる。　←[1]
(d/dt){ g(t)y(t) } = g(t)f(t) を 0 ≦ t ≦ x で積分すれば、
g(x)y(x) - g(0)y(0) = ∫[0,x] g(t)f(t) dt より
y(x) = { g(0)y(0) + ∫[0,x] g(t)f(t) dt }/g(x)
　　= { 1・y_0 + ∫[0,x] (e^(-iwt)) f(t) dt }/e^(-iwx))
　　= { (e^(iwx))・(y_0) + ∫[0,x] (e^(iw(x-t))・f(t) dt }.

ウマイ g(x) を見つけて [1] の式形へ持ち込むことは
覚えといて損は無いと思う。

この回答へのお礼

まだよくわかりませんがやってみます
ご回答有り難うございました

お礼日時：2023/05/09 23:27

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/08 23:16

u=∫[0,x] e^iw(x-t)f(t)dt=e^iwx∫[0,x] e^(-iwt)f(t)dt

とすると
　u'=iwe^iwx∫[0,x] e^(-iwt)f(t)dt+e^iwx e^(-iwx)f(x)
　　=iwe^iwx∫[0,x] e^(-iwt)f(t)dt+f(x)
　　=iw∫[0,x] e^(iw(x-t))f(t)dt+f(x)
　　=iwu+f(x)
だから、uは与式の微分方程式を満たすから1つの解、つまり
特殊解となっている。

また
　dy/dx=iwy
の一般解は
　y=y₀e^iwx
だから、与式の一般解は
　y=y₀e^iwx+u=y₀e^iwx+∫[0,x] e^iw(x-t)f(t)dt
となる。

この回答へのお礼

誠に有り難うございます　まだよくわかりませんが頑張ってみます

お礼日時：2023/05/09 23:27