三角関数の問題なのですが、 0≦θ<2π のとき y=-3cos²+3√3sinθ の最大値、最小値

三角関数の問題なのですが、
0≦θ<2π のとき

y=-3cos²+3√3sinθ

の最大値、最小値を求めよ。

教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/17 00:36

θが抜けてる？

y = -3cos²θ + 3√3sinθ　　　　①

かな？

ここでは、sin, cos を統一するため
　sin²θ + cos²θ = 1
を使って
　cos²θ = 1 - sin²θ
で①を置き換える。
そうすれば

　y = -3(1 - sin²θ) + 3√3sinθ
　　= 3sin²θ + 3√3sinθ - 3
　　= 3(sin²θ + √3sinθ - 1)　　　　②

ここで、
　sinθ = x
と置けば、0≦θ<2π なら
　-1 ≦ x ≦ 1　　　　　　　　③
であり、この条件で②は

　y = 3(x^2 + (√3)x - 1)

これは二次関数なので、二次関数の最大・最小の定石で「平方完成」形にすれば

　y = 3{[(x + (√3)/2]^2 - 3/4 - 1}
　　= 3[(x + (√3)/2]^2 - 21/4　　　　④

このグラフは
・下に凸の放物線
・頂点は (-(√3)/2, -21/4)
・軸は x = -(√3)/2

軸は③の範囲内にあるので、
・x = -(√3)/2 のとき、最小値 -21/4
・最大値は、軸から遠い方の端点 x=1 のとき 3√3

よって
　sinθ = -(√3)/2 つまり θ = (7/6)π, (11/6)π のとき、最小値 -21/4
　sinθ = 1 つまり θ =(1/2)π のとき、最大値 3√3

この回答へのお礼

ありがとうございます<(_ _*)>
わかりやすいです！

お礼日時：2023/05/18 00:15

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/17 13:28

s = sinθ と置くと、

-1 ≦ s ≦ 1,
y = -3(1 - s²) + (3√3)s = 3s² + (3√3)s - 3 = 3{ s + √3/2 }² - 21/4.

s,y平面に二次関数のグラフを書けば、
y の最大値は s = 1 のとき y = 3√3,
y の最小値は s = -√3/2 のとき y = -21/4
であることが判る。

0 ≦ θ < 2π より、
sinθ = s = 1 となるのは θ = π/2 のとき。
sinθ = s = -√3/2 となるのは θ = (4/3)π または (5/3)π のとき。
これも、θ,s 平面に s = sinθ のグラフを書けば判る。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます(♡ .ˬ.)"

お礼日時：2023/05/18 00:16

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/17 05:46

y

=-3(cosθ)^2+3√3sinθ
=-3{1-(sinθ)^2}+3√3sinθ
=-3+3(sinθ)^2+3√3sinθ
=3(sinθ)^2+3√3sinθ-3
=3(sinθ+√3/2)^2-21/4
≧-21/4

sinθ=-√3/2のとき
θ=4π/3.or.5π/3のとき
最小値-21/4

sinθ≦1
(sinθ)^2≦1
3√3sinθ≦3√3
(sinθ)^2-1≦0
3{(sinθ)^2-1}≦0

y
=3(sinθ)^2+3√3sinθ-3
=3√3sinθ+3{(sinθ)^2-1}
≦3√3

sinθ=1のとき
θ=π/2のとき
最大値3√3

この回答へのお礼

回答ありがとうございます<(_ _*)>

お礼日時：2023/05/18 00:16