線形代数の問題です。 2 1 1 A= 2 0 -1 -4 -1 0 自然数nに対して、 (1/n)

線形代数の問題です。

2 1 1
A= 2 0 -1
-4 -1 0

自然数nに対して、
(1/n)Σ(k=1→2n) (-1)^k·A^k-A^2を求めよ。

n=1のとき、-A
n=2のとき、(1/2)(-A-A^3+A^4)
n=3のとき、(1/3)(-A-A^3+A^4-A^5+A^6)

となったのですが、ここから規則性が分からないです。
ご教授お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/19 16:48

A

=
(2.,1,1.)
(2.,0,-1)
(-4,-1,0)

の固有値は0,1
固有値0に対する固有ベクトルは(1;-4;2)
固有値1に対する固有ベクトルは(0;1;-1)
対角化不可で

A
=
(-1,-1,-1)(0,0,0)(1.,0,1.)
(-4,-3,-4)(0,1,3)(-4,1,0.)
(2.,1.,1.)(0,0,1)(2,-1,-1)

だから

P
=
(1.,0,1.)
(-4,1,0.)
(2,-1,-1)

J
=
(0,0,0)
(0,1,0)
(0,0,1)

B
=
(0,0,0)
(0,0,3)
(0,0,0)

とすると

P^(-1)AP=J+B
A=P(J+B)P^(-1)=PJP^(-1)+PBP^(-1)
(J+B)^k=J+kB
A^k=P(J+kB)P^(-1)=PJP^(-1)+kPBP^(-1)
(-1)^k·A^k=(-1)^k·P(J+kB)P^(-1)=(-1)^k·{PJP^(-1)+kPBP^(-1)}
(-1)^k·A^k=(-1)^k·{PJP^(-1)+kPBP^(-1)}

(-1)^1·A^1=-PJP^(-1) -PBP^(-1)
(-1)^2·A^2=+PJP^(-1)+2PBP^(-1)
(-1)^3·A^3=-PJP^(-1)-3PBP^(-1)
(-1)^4·A^4=+PJP^(-1)+4PBP^(-1)
(-1)^5·A^5=-PJP^(-1)-5PBP^(-1)
(-1)^6·A^6=+PJP^(-1)+6PBP^(-1)
(-1)^7·A^7=-PJP^(-1)-7PBP^(-1)
(-1)^8·A^8=+PJP^(-1)+8PBP^(-1)
…
(-1)^(2n-1)·A^(2n-1)=-PJP^(-1)-(2n-1)PBP^(-1)
(-1)^(2n )·A^(2n )=+PJP^(-1)+(2n )PBP^(-1)
↓
Σ(k=1→2n) (-1)^k·A^k=nPBP^(-1)
↓

(1/n)Σ(k=1→2n) (-1)^k·A^k
=
PBP^(-1)
=
(1.,0,1.)(0,0,0)(-1,-1,-1)
(-4,1,0.)(0,0,3)(-4,-3,-4)
(2,-1,-1)(0,0,0)(2.,1.,1.)
=
(0.,0.,0.)
(6.,3.,3.)
(-6,-3,-3)

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2023/06/19 18:31

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/18 17:27

求められているのはソウイウ式ではなくて、それを計算して得られる具体的な3行3列行列の成分の値でしょう。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/18 16:12

そもその式が間違っていることに気付かないようだと, ちょっと....