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微分の解けない問題があるので誰か教えて頂きたいです。
dx/dt+2x=cos(4t)
x(0)=-1
という問題です。

A 回答 (3件)

dx/dt + 2x = cos(4t) の両辺に e^(2x) を掛けて、


(e^(2t))(dx/dt) + (2e^(2t))x = (e^(2t)){ e^(4it) + e^(-4it) }/2.
これを t で積分すると、
(e^(2t))x = (1/2)∫{ e^((2+4i)t) + e^((2-4i)t) }dt
    = (1/2){ (e^((2+4i)t)/(2+4i) + (e^((2-4i)t)/(2-4i) } + C (Cは定数).
よって、
x = (e^(-2t))(1/2){ (e^((2+4i)t)/(2+4i) + (e^((2-4i)t)/(2-4i) } + Ce^(-2t)
 = (e^(4it)/(4+8i) + (e^(-4it)/(4-8i) + (C/2)e^(-2t)
 = (e^(4it) + (e^(-4it))/20 - i (e^(4it) - (e^(-4it))/10 + (C/2)e^(-2t)
 = (cos(4t))/10 + (sin(4t))/5 + (C/2)e^(-2t).
初期条件を使うと、 t = 0 のとき
-1 = 1/10 + 0/5 + (C/2) より C = -11/5.
結局、
x = (cos(4t))/10 + (sin(4t))/5 - (11/10)e^(-2t).
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特殊解を元るるため


 x=Acos4t+Bsin4t
と仮定する。与式に入れると
 -4Asin4t+4Bcos4t+2(Acos4t+Bsin4t)=cos4t
この式が恒等的に成り立つには
 -4A+2B=0, 4B+2A=1
→ A=1/10, B=1/5

斉次式
 dx/dt+2x=0・・・・①
の一般解は変数分離で x≠0 として
 dx/x=-2dt
積分して
 log|x|=-2t+C → |x|=e^C e^(-2t)
→ x=Ae^(-2t) (A≠0)

ここで、x≠0 としたが、x=0 も①の解になっているから
改めて、Aを0も含めた任意定数として①の解は
 x=Ae^(-2t)
となる。

従って元の非斉次式の一般解は特殊解との和となり
 x=Ae^(-2t)+(1/10)cos4t+(1/5)sin4t
となる。初期条件から
 -1=x(0)=A+1/10+0 → A=-11/10

ゆえに、与式の解は
 x=-(11/10)e^(-2t)+(1/10)cos4t+(1/5)sin4t
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2023/06/20 23:10

それは「ただの式」では?



それをどうしろって問題なの?

なお「微分方程式を解け」というなら, 公式に突っ込んでしまえばいい.
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