数B の問題です、分かりません！解説してください！

応用例題３。…よって～がなぜ？どこからこうなった？？？と言う感じで理解不能です。おバカ私にも分かるように優しく解説お願いします！

No.6 回答者： ecis 回答日時： 2023/07/14 16:53

1+2+2^2+2^3+…+2^(n-1)は初項1、公比2の和なので、等比数列の和の公式S=a(r^n-1)/(r-1)を使って1×(2^n-1)/(2-1)とすることができます。

あとは式変形すればSについて解くことができます。

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2023/07/12 14:39

丸で囲んである所でしょうか？

S=Σ(k;1-n) k・2^(k-1) ですから
第k項は　初項(1)から最終項(n)までの間の項　...............(0)
であり
第n項=n・2^(n-1) であり　第k項はnの代わりにkと置き換えたむ
第k項=k・2^(k-1) てあり
初項も　1・2^(1-1)=1・2^(0)=1・1 となり
第k項に　k=1と代入した値となり 　(0)を満たしています。


参考に　同じ問題を部分和分法で解いてみると
⊿(f(x)g(x))=f(x+1)g(x+1)-f(x)g(x)
=g(x+1){f(x+1)-f(x)}+f(x){g(x+1)-g(x)}
　　　　　 =g(x+1)⊿f(x)+f(x)⊿g(x)
∴f(x)⊿g(x)=⊿(f(x)g(x))-g(x+1)⊿f(x) ここで両辺を和分をとれば
∴⌠ f(x)⊿g(x)=f(x)g(x)-⌠ g(x+)⊿f(x)　........................(1)
ここで　f(x)=x g(x)=2^(x-1) とおくと
　　　⊿f(x)=f(x+1)-f(x)=(x+1)-x=1
⊿g(x)=g(x+1)-g(x)=2^(x-1+1) -2^(x-1)=2^x -2^(x-1)=2・2^(x-1) -2^(x-) =(2-1)・2^(x-1)=2^(x-1)
g(x+1)=2^x であるから (1)の定和分をとれば
⌠ (1...n) f(x)⊿g(x)δx=[f(x)g(x)](1...n+1) -⌠ (1...n) g(x+1)⊿f(x)δx
...................(2)
であるから
Σ(1...n) k・2^(k-1)=⌠ (1...n) f(x)⊿g(x)δx=⌠ (1...n) x・2^(x-1)δx
であるから (2)より
=[x・2^(x-1)](1...n+1) -⌠ (1...n) 2^x ・1 δx
=[x・2^(x-1)](1...n+1) -[2^x] (1...n+1)
=(n+1)・2^(n+1-1) -1・2^(1-1)
- {2^(n+1) -2^1}
=(n+1)・2^n -1
-{ 2^(n+1) -2}
=(n+1)・2^n -2^(n+1) -1+2
=(n+1-2)・2^n +1log
=(n-1)・2^n +1 ...............Ans
mathlog.info にも記載あり参考にしました。(参考まで)

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/11 14:26

＞ よって～がなぜ？どこからこうなった？？？

「よって」の部分は、右辺が等比数列の和です。
だから「+...+」が無い式へ変形できたのです。
なぜ、等比数列の和になったかって？
S-2S がそうなることに気づいて、上手に式を作ったからです。
どかからそれに気づいたか？
さあねえ... だって気づいちゃったんだもん！って感じじゃないでしょうか。
項をずらして数列の和の中間の項を相殺するってのは、
そもそも教科書で等比数列の和を習ったときに出てきたテクニックです。
誰もが知っているはずです。それをもうちょっと応用できるかどうかは、
地頭の差でしょうかねえ...

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/07/11 13:37

結果から逆算してるんです。

例えば、以下も同じで、結果を知ってるから出来るんです。
√5の整数部が幾つになる？

4<5<9は明らか。辺々の√をとると、√4<√5<√9
これより、2<√5<3　∴√5の整数部は2。
√6、√7、√8までは4<6<9、4<7<9、4<8<9、だから同じ論法。

√10になったら、9<10<16から同じ事を行なう。

√5や√10を2乗したら、5,10になるから、それを挟む平方数を見つければ良い訳。

結果から逆算してるんです。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/11 10:34

S-2S=1+2+2^2+2^3+…+2^(n-1)-n・2^n

1+2+2^2+2^3+…+2^(n-1)
は
初項1公比2の等比数列のn項までの和だから

1+2+2^2+2^3+…+2^(n-1)
=
(1-2^n)/(1-2)
=
(2^n-1)/(2-1)

となるというのはわかりますか?

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/11 10:19

「どうしてそうするのか」を知りたいのでしょうが、それは「そうするとうまい具合に結果が得られた」という結果を知っている人が考えたからです。

では、どうすればそういうアイディアを思いつくことができるのか？　というのが質問だと思いますが、「経験と訓練の繰り返し、多少の試行錯誤」としか言いようがありません。
子供が言葉や道具の扱いを覚えていくように、経験を積んで「いろいろな解き方」を体験して学んでいくのです。
「何かを丸暗記すればよい」という安直なものではなく、「経験と失敗の積み重ね」によってノウハウや問題解決能力を養っていくのです。