素イデアル

Rを可換環、Sをその部分環、C、DをRの素イデアルとします。
S⊂C∪Dなら　S⊂CかS⊂D　を示してください

質問者からの補足コメント

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  解りました

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/07/23 09:29

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/23 04:58

Rを可換環、

Sをその部分環、
C、DをRの素イデアル
S⊂C∪D
とする

(S⊂CまたはS⊂D)でないと仮定すると

S⊂Cでないから
a∈S-C⊂D-Cとなるaがある

S⊂Dでないから
b∈S-D⊂C-Dとなるbがある

a+b∈S⊂C∪D
だから
a+b∈C.または.a+b∈D

a+b∈Cと仮定すると
-b∈C
a=(a+b)-b∈C
となってa∈-Cに矛盾するから

a+b∈D
-a∈D
b=(a+b)-a∈D
となってb∈-Dに矛盾するから

S⊂C または S⊂D