積分の偶関数奇関数は、xの累乗がそれぞれ偶数、奇数のみを解くのですか？

積分の偶関数奇関数は、xの累乗がそれぞれ偶数、奇数のみを解くのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2023/08/03 11:26

偶関数と奇関数の意味は一番上の囲い部分で説明されていますね！

簡単に言えば偶関数y軸に折り返したら同じですよね！だから
第1象限の面積の2倍の面積になりますし
奇関数は正負で0に相殺されて面積は0になります。だから
最後の例題で
∫(a→b) (x^3 -4x^2 -2x +1)dx では
奇関数の　x^3 -2x 　の部分は　0になるので
偶関数の　 -4x^2 +1　の部分を積分して2倍にすればいいと
計算の効率化を言っています。
その意味で貴方の言われている通りですね！

No.4 回答者： kmee 回答日時： 2023/08/04 12:00

・偶関数/奇関数という考えは、積分とは直接は関係ありません。

・定積分の性質を使うと
∫(-a→a)f(x)dx = ∫(0→a)(f(-x)+f(x))dx
となります。
ここで
f(x)が偶関数なら
∫(0→a)(f(-x)+f(x))dx = ∫(0→a)(f(x)+f(x))dx = ∫(0→a)2・f(x)dx = 2・∫(0→a)f(x)dx
f(x)が奇関数なら
∫(0→a)(f(-x)+f(x))dx = ∫(0→a)(-f(x)+f(x))dx = 0
となります。

多項式は、
nが偶数のとき(-x)^n=x^nなので偶関数
nが奇数のとき(-x)^n=-x^nなので奇関数
となるので、これを使って、-aからaの定積分を、偶数乗項の0からaの定積分だけにして計算を楽にする、というのがそのページの趣旨です。

積分範囲と偶関数/奇関数の性質を利用しているので、積分範囲が違う場合は使えません。
逆に、sin,cosのような他の偶関数/奇関数に対しても同様の計算省略ができます。

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2023/08/03 11:36

訂正　a= -b です

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2023/08/03 11:35

追記　a<0 b>0 です