【3月6日実施】システムメンテナンス実施のお知らせ

以前同じ質問をさせていただいたのですが、読み直しても理解できなかったので、再掲します。
写真は楕円の方程式を導出を示したものですが、なぜ赤線部のようにb>0と定めてもよいのかがわかりません。aは距離のことだから、黄線部のようにa>0は必然的なことはわかるのですが、bに関しては「点pがy軸上にあるときのy座標」をbと表すと書いてあります。写真ではy≧0の象限ではなしをすすめてきることから、b>0は成り立つと思いますが、これをy≦0の象限で話を進めた場合、bはy座標を表していることから、b<0になるのではないのでしょうか?確かに直感的にbはOP間の距離を表しているのかなと推測します。しかしこの写真の導出には「bはOP間の距離」などという文言はひとつもありません。また楕円の方程式の定義?(条件?)では「a>b>0」という条件がありますが、この導出に基づくとbはy座標を表すことからa>b>0のb>0も成り立たないのではないでしょうか?なぜ、楕円の方程式の導出から、最後のa>b>0まで、b>0で話を進めることが出来るのでしょうか?解説おねがいします。

導出の写真: https://d.kuku.lu/fe4cjze24

「以前同じ質問をさせていただいたのですが、」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 今、もう一度リンクの説明を見て思ったのですが、「b²+c²=a²⇔b²=a²-c²」と今までの説明よりa>c>0であることから、b>0となるのは自明なのでは?と思いました。

      補足日時:2023/08/23 14:29
  • たくさんのご回答ありがとうございました。

      補足日時:2023/08/24 19:35

A 回答 (12件中1~10件)

No.8 (前回の No.2) が要点かなあ。


写真の文章には、
楕円の式 x²/a² + y²/b² = 1 から b > 0 が導かれるとは書かれてない。
a > b > 0 だった場合には x²/a² + y²/b² = 1 がどんな図になるかが書いてある。
b < 0 だったら、図が異なるってだけの話だ。
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なんか数式の読み取り方がかなり変。



y軸のマイナス部(y<0)と楕円の交点のy座標を-b
としているのだから、bがy座標じゃないのは明らかだよね。

y軸と楕円は、(x、y)=(0、±b) (b>0)の2点で交わってる。

bは楕円中心からy軸と楕円の交点までの距離で「短半径」
と呼ばれるもので座標値ではなく楕円の形を表すパラメータ(定数)だ。
正方形の辺の長さを負にしたりしないように
bも負にはしないしそれで充分だ。
bは正でもyはちゃんと正負の値を取れてるでしょ?

座標値と定数が頭の中で区別がつかず、グズグズグチャグチャ
になってる。はっきり区別して扱えるようにならないと先に進めないよ。
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No.9 です。

「お礼」に書かれたことについて。

>①今回リンクの説明では、y>0の範囲で考えていますが、もし、y<0で考える場合は、-b<0(つまりb>0)とおいて考えるということでしょうか?

相当にアタマが固いですね。

#5 に書いたように
 y = ±b√[1 - (x^2)/a^2 ]
なので、b の値に関係なく y>0 も y<0 も扱えますよ。

それを2乗したものが楕円の式
 (x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 1
です。

>②もう一つ思ったことですが、添付画像のa>b>0のbは短軸半径の「大きさ」を表していてリンクの説明でのbは座標を表していることから、それぞれに使われているbの意味が違うのでは?と思いました。

思うのは勝手ですが、「|a| は長軸半径で、±a は座標を表す」「|b| は短軸半径で、±b は座標を表す」ということで、「数式的な意味」も「図形的な意味」も整合性がとれています。その意味で「意味は同じ」といえます。

a>b>0 だから「a は長軸半径、b は短軸半径」になるのであって、
b>a>0 なら「b が長軸半径、a が短軸半径」になります。
また、楕円の式は
 (x^2)/b^2 + (y^2)/a^2 = 1
とか
 (x^2)/m^2 + (y^2)/n^2 = 1
と書いても構いません。
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No.5 です。

「お礼」に書かれたことについて。

>リンクの楕円の説明の方では「y軸上のy座標」をbと定めていることから

そんなの、どこに何の文字を当てはめるかなんて自由に変えられますよ。
そこで定義され、示された条件で考えるだけのこと。

>bはb>0,b<0と2通りの場合があると思うのですが

2通りあるのは「x, y」の方で、それに対する「定数」である「a, b」は、#5 に書いたとおり「正」で定義しても「負」で定義してもよいです。
少なくとも「定数」である「a, b」はどちらか一方に「固定」して考えます。
それによって
 x = ±a
 y = ±b
の「2通り」になるのは座標「x, y」の方です。

どうしても「a, b」の正負にこだわるのであれば、「長径、短径」を「|x|, |y|」で表わせばよいだけのことです。
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この回答へのお礼

①今回リンクの説明では、y>0の範囲で考えていますが、もし、y<0で考える場合は、-b<0(つまりb>0)とおいて考えるということでしょうか?
②もう一つ思ったことですが、添付画像のa>b>0のbは短軸半径の「大きさ」を表していてリンクの説明でのbは座標を表していることから、それぞれに使われているbの意味が違うのでは?と思いました。

お礼日時:2023/08/23 09:59

b≦0 と「しなければならない」理由を明らかにしてほしいねぇ.

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楕円の中心が 原点ならば x 軸に対して 対称ですから、


b>0 の部分だけ考えれば 充分なのでは。
当然 y 軸に対しても 対称ですから a>0 だけで 充分でしょ。
画像の表現でも「長軸の長さは 2a , 短軸の長さは 2b 」って、
a, b は長さですよね。
それとも |2b|, |2a| としないと 気が済みませんか。
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点Pがy軸上にあるときを考えます
このときのPのy座標をb(b>0)とすると、



点Pがy軸上にあるときを考えます
このときのPのy座標を±b(b>0)とすると、

と修正すればよい
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No.4 です。



#4 に書いた

 y = ±b√[1 - (x^2)/a^2 ]    ①
 x = ±a√[1 - (y^2)/b^2 ]    ②

の式から
①で x=0 のとき y = ±b つまり y 軸上の「短軸」
②で y=0 のとき x = ±a つまり x 軸上の「長軸」
の座標になりますよね。

いったい、何が、どこが、どのように疑問なのですか?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
リンクの楕円の説明の方では「y軸上のy座標」をbと定めていることから、bはb>0,b<0と2通りの場合があると思うのですが、添付した画像の方では、a>b>0と書いてあることから、添付した画像とリンクの楕円の説明でbの範囲が違ってしまっているのでは?ということです。(多分こんな問題はないと思いますが、bの値を求めよという問題があったとしたら、b>0に則れば、bの値は1つだけだけど、リンクの説明の方に則ればbの値は±の2つの値が出てきてズレが起こると思います。)

お礼日時:2023/08/22 19:03

楕円の式からは、別に a<0, b<0 であってもよいのです。



そのときには、|b| < |a| なら
・長軸の長さは 2|a|
・短軸の長さは 2|b|
とすればよいだけ。

(x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 1

ですから
 y^2 = b^2 - (b/a)^2・x^2
なので
 y = ±b√[1 - (x^2)/a^2 ]

同様に
 x = ±a√[1 - (y^2)/b^2 ]
です。

どこをどうとっても、a, b は正でも負でも同じ扱いができます。
「長さ」を「絶対値」で表記すればよいだけ。
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この回答へのお礼

>楕円の式からは、別に a<0, b<0 であってもよいのです。<

b<0で話を進めた場合、添付画像のa>b>0という条件を満たさなくなってしまいませんか?

僕の理解力がないために何度も質問すみません…

お礼日時:2023/08/23 14:14

b<0としてしまったら


短軸の長さは
2b
ではなくなってしまうのです
だから
bはy軸上のy座標
とする
導出が間違っている
b>0としなければならない

短軸の長さは
2b
であり
と書いてある通り
2b>0
でなければならないから
b>0
と定めなければならない
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この回答へのお礼

写真ではy≧0の象限で話を進めていますがy≦0の象限で話を進める場合には-b<0(b>0)とおいて話を進めるのでしょうか?

お礼日時:2023/08/22 17:26

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