この問題を、位置ベクトルを取らずに、始点をAに統一して解く方法を教えて下さい。

入力の都合上、ABベクトルをABと表します.

【問】空間内に三角形ABCがある.
AB·BP+BP·CP+CP·AP=0
を満たす動点Pの存在範囲を求めよ.

【補足】多くの方はAB·BP=(b-a)·(p-b)のように位置ベクトルの式に書き換えて解くと思います。しかし、私は本問のように位置ベクトルに書き換えることで解きやすくなる問題と始点統一で解きやすくなる問題 の見極めが全く出来ないため、どちらのやり方でも解けるようにすべきだと感じてこの質問をしました。

もし宜しければ、このように解法を見極めるコツ(気にすべき箇所など)も教えていただければ幸いです。

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/09/08 11:06

「始点統一」とはAを基準に

AB = b, AC = c, AP = p
とかだろうか？

p についてベクトル的に平方完成すれば、円であることは
すぐわかると思う。個人的には変数が1個減るのでこっちが好み。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。ベクトルに限らず、変数を減らす方向に持って行くという視点は今後も意識して解くようにします。ありがとうございました。

お礼日時：2023/09/09 08:00

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/09/08 01:23

「始点統一」と「位置ベクトルに書き換える」の違いがわからないなぁ.

例えば「多くの方はAB·BP=(b-a)·(p-b)のように位置ベクトルの式に書き換えて解くと思います。」って書いてあるけど, その「位置ベクトルの式」でてきとうなところ, 例えば A を始点にすれば「始点統一」と同じことではないの? 例えば
AB・BP = AB・(AP-AB)
と書くのと
AB·BP=(b-a)·(p-b)
とでは, 何がどう違う?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。そうですね、本質的に同じだと思います。本問はベクトルを平方完成した後にもう一段階式変形が必要ですが、始点を三角形の頂点に統一した際の式ではその変形が少しだけやり難く、私はそこで詰まっていただけでした。お騒がせいたしました。精進します...

お礼日時：2023/09/09 07:46

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/08 00:25

＞始点をAに統一して解く方法

単に、全体のベクトル成分をＡの座標分だけシフトするだけですよ。
2点間の相対ベクトルの成分は単なる座標の引き算なので、両方をシフトすれば結局同じことになる。

自分でやってみた？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。質問を投稿する前にやってみてはいるのですが、球の半径を求める際の変形が上手くいかず、行き詰まりました。あまりにも初歩的な質問だったようなので、もう少し自分でやってみます。

お礼日時：2023/09/08 00:40