数学I 因数分解の質問をさせて頂きます。

x(y－1)+(1－y)を因数分解する問題です。
＝x(y－1)－(y－1)
＝x×(y－1)－(y－1)×1
＝答え(y－1)(x－1)

以上の、＝x×(y－1)－(y－1)×1の1は、どうしたらなるんですか?
また、やり方がよく分かっていないため、優しく教えて頂ける方がいらっしゃいましたら、教えて頂けると有り難いです。
宜しくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• すみません、後で気づいたんですが、定数項同士を計算した結果の1ですか?
  y-1=(y-1)×1の1は、どうしたらなるのかよく分かっていません(>_<)

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/10/07 07:51

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2023/10/08 16:06

回答を一部訂正。

先ほどはaを「0でない数」としましたが、実際は0を含むどんな数でも当てはまります。失礼しました。ただaが0の場合の

0×1=1×0=0

と言うのは「1が乗法の単位元である」と言う1と言う数の性質だけでなく

0×a=a×0=0

と言う0自身の性質も入っているので式の成り立つ意味がちょっと変わって来ます。

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2023/10/08 16:01

0でない数aを考えた時に

a×1=1×a=a

となるのは分かりますよね。この性質を用いて

y-1=(y-1)×1

と言う具合に元の式を読み換えただけです。

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/08 00:51

x=x・1 において　x=y-1 とおいているだけ

この場合　いちど分解してからでもよい！
x(y-1)+(1-y)=xy-x+1-y=xy-(x+y)+1
たすき掛けより
x.... -1
y..... -1
----------
xy.... -x -y ....1 からでもよい！
=(x-1)(y-1)

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/07 08:56

「どうしたらなる」って考え方をするから、解らないんじゃないでしょうか。

算数教育の弊害で、我々は普段、数式を、左辺を計算したら右辺に「なる」もの
と捉えがちです。でも、本当は、等式は、左辺と右辺が等しいと言ってるだけです。
今回の y-1 = (y-1)×1 も、逆に、右辺を計算したら左辺になった...と思えば
単純な話でしょう？ 何かに 1 を掛けても値は変わらないってだけですから。
だから、その等式は成り立つのです。

そういう話ではなくて、
どうしたらその変形を「思いつくのか？」という質問なのであれば、それは、
x(y－1)－(y－1) のふたつの項 x(y－1) と (y－1) に共通因数 (y－1) がある
ことを見つけて、それを括り出そうとしたからです。(y－1) を括り出して
x(y－1)－(y－1) ＝ (y－1)(x－□) とするとき、□ に入る式は何だろう？
と考えれば、y-1 = (y-1)×1 であったことを思い出すわけです。

No.2 回答者： Dendrocacalia 回答日時： 2023/10/07 08:02

それは「単位元」と「くくり出し」の2つでしょう。

どっちも簡単で、すぐ分かりますよ。

まず、単位元とは計算しても変わらないということです。たとえば1をかけても元の値と変わりませんね。0を足した場合も変わりません。つまり、1は掛け算の単位元、0は足し算の単位元ということです。
次に、（変わりもしないのに）なぜわざわざ「×1」と書き加えるのかと言いますと、共通因数をくくり出すためです。

そもそも、分配法則により、
A(B＋C)＝AB＋AC
両辺を入れ替えると
AB＋AC＝A(B＋C)
これは、Aという共通の因数を、かっこの外に「くくり出し」ていることになります。

ご質問の場合、「y－1」が共通因数です。
A＝y－1
B＝x
C＝－1
です。くくり出すために、わざわざ1（というか－1）を意識したのです。

No.1 回答者： windwald 回答日時： 2023/10/07 07:45

> ＝x×(y－1)－(y－1)×1の1は、どうしたらなるんですか?

　y-1=(y-1)×1
に納得がいかないんですか？