確率の証明について

画像のような問題で、
(i)
A∩A^c=φ,A∪A^c=Ωより、
1=P(Ω)=P(A∪A^c)=P(A)+P〖(A〗^c)
AとA^cは排反事象により、〖P(A〗^c)=1-P(A)
(ii)
A⊂Bであれば、B=A∪(B∖A),A∩(B∖A)=φ
∴P(B)=P(A)+P(B∖A)⋯➀
➀より、A⊂BであればP(B∖A)=P(B)-P(A)であると言える。
また、AとB∖Aは排反事象である。
ここで、Pの非負性よりP(B∖A)≥0
P(B)=P(A)+P(B∖A)≥P(A)
となる。
(iii)
A∪B=A∪(B∖A),A∩(B∖A)=φより
P(A∪B)=P(A)+P(B∖A)⋯②
AとB∖Aは排反事象である。
ここで、(B∖A)∪(A∩B)=B,(B∖A)∩(A∩B)=φより、
P(B)=P(B∖A)+P(A∩B)が成り立つ。
よって、P(B∖A)=P(B)-P(A∩B)を②に代入して
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
となる。
となったのですが合っていますか？
間違っていれば解説お願いします。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/10/07 23:35

OKす。