複素関数 1/(z-a) の積分について

C が単純閉曲線のとき、C 内にC内にz = aが含まれれば
　　∮_C 1/(z-a) dz = 2πi
　そうでなければ
　　∮_C 1/(z-a) dz = 0
になりますが、何か特別な条件を与えれば、1/(z-a)の積分は実数のときと同じように原始関数の形が log(z) の主値関数を使って Log(z-a) になることがあるのですか？

　手持ちの参考書に原始関数を使った積分が載っているのですが、三角関数・指数関数・巾関数ばかりで、分数関数の例がまったくないので気になります。

No.3 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2023/10/15 17:44

結論から言って複素対数関数を原始関数として計算するのも可能です。

たとえばa＝0として実軸上負の部分に点QをとりQから出発して
原点Oを左に見ながら原点OのまわりをまわってQに帰る単純閉曲線
Cにたいして、複素対数関数を主値に取れば
∮_C 1/z dz＝log|OQ|＋ｉπ－(log|OQ|＋(－ｉπ))＝2πｉ
と既知の結果が出る。
おもしろいのは次のような場合です：
反時計回りの単純閉曲線Ｃが実軸の負の部分の2点Ｐ、Ｑで交わる場合、
（Ｐのほうが原点に近いとする）、この場合Ｃを
Ｃ1：Ｑから出発して実軸の下を通りＰに至る部分
Ｃ2：Ｐから出て実軸の上を通りＱに戻る部分の2つに分けて
∮_C dz/z＝∫_C1dz/z＋∫_C2dz/zとすると
∫_C1dz/z＝log|OP|＋(ーｉπ)ー[log|OQ|＋(ーiπ)]
∫_C2dz/z＝log|OQ|＋ｉπー[log|OＰ|＋ｉπ]
ゆえに
∮_C dz/z＝0　
これはＣの領域がＯを含まないから当然です。
このように複素対数関数(主値)を原始関数として計算するのも可能。

この回答へのお礼

ありがとうございました。大変参考になります。

お礼日時：2023/10/15 22:25

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/15 09:11

定義域を制限するために複素平面から除外した領域と

Cとの共有点が一点になるように設定して、
積分路の両端をその一点へ向けて極限すれば、
実積分の広義積分と似たような形で計算することはできるな。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/15 01:09

ｚ の変域が z=a を含まない単連結な領域になるように定義域を制限すれば、

1/(z-a) の原始関数は、積分定数の不定性を除いて一意に定まる。
Log(z-a) ってそういうものなのだが、
そのような定義域の中では z は z=a を含む閉曲線を一周なぞることができない
から ∮_C 1/(z-a) dz = 2πi の計算には使えない。