No.1
- 回答日時:
z の変域が z=a を含まない単連結な領域になるように定義域を制限すれば、
1/(z-a) の原始関数は、積分定数の不定性を除いて一意に定まる。
Log(z-a) ってそういうものなのだが、
そのような定義域の中では z は z=a を含む閉曲線を一周なぞることができない
から ∮_C 1/(z-a) dz = 2πi の計算には使えない。
No.2
- 回答日時:
定義域を制限するために複素平面から除外した領域と
Cとの共有点が一点になるように設定して、
積分路の両端をその一点へ向けて極限すれば、
実積分の広義積分と似たような形で計算することはできるな。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
結論から言って複素対数関数を原始関数として計算するのも可能です。
たとえばa=0として実軸上負の部分に点QをとりQから出発して
原点Oを左に見ながら原点OのまわりをまわってQに帰る単純閉曲線
Cにたいして、複素対数関数を主値に取れば
∮_C 1/z dz=log|OQ|+iπ-(log|OQ|+(-iπ))=2πi
と既知の結果が出る。
おもしろいのは次のような場合です:
反時計回りの単純閉曲線Cが実軸の負の部分の2点P、Qで交わる場合、
(Pのほうが原点に近いとする)、この場合Cを
C1:Qから出発して実軸の下を通りPに至る部分
C2:Pから出て実軸の上を通りQに戻る部分の2つに分けて
∮_C dz/z=∫_C1dz/z+∫_C2dz/zとすると
∫_C1dz/z=log|OP|+(ーiπ)ー[log|OQ|+(ーiπ)]
∫_C2dz/z=log|OQ|+iπー[log|OP|+iπ]
ゆえに
∮_C dz/z=0
これはCの領域がOを含まないから当然です。
このように複素対数関数(主値)を原始関数として計算するのも可能。
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