dy/dz =(dy/dx)(dx/dz) ={(x-1)^(-1)}^(n+1)･1 =(-1)^

dy/dz
=(dy/dx)(dx/dz)
={(x-1)^(-1)}^(n+1)･1
=(-1)^(n+1)*(n+1)!/(x-1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)*(n+1)!
/(z-1)^(n+2)

よりdy/dz=(-1)^(n+1)*(n+1)!/(z-1)^(n+2)
の式のyにy={(x-1)^(-1)}^(n) (※x=z)を代入して整理したら

(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)と導けるでしょうか？

仮に導ける場合は導くまでの過程の計算をわかりやすく教えて下さい。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/17 01:13

←お礼 10/17 00:22

ひとつの式に高階微分の ^(n+1) と冪乗の ^(n+2) を混在すんな
つってんのが解らないのか、それとも敢えて逆らってみてるのか？

y = (d/dx)^n { (x-1)^-1 }, z = x に対して
dy/dz = (dy/dx) = (d/dx)^(n+1) { (x-1)^-1 }
= (-1)^(n+1)・(n+1)! / (x-1)^(n+2)
= (-1)^(n+1)・(n+1)! / (z-1)^(n+2).
の中の
(d/dx)^(n+1) { (x-1)^-1 } = (-1)^(n+1)・(n+1)! / (x-1)^(n+2)
の部分は、変数名が違っているだけで
(d/dz)^(n+1) { (z-1)^-1 } = (-1)^(n+1)・(n+1)! / (z-1)^(n+2)
と全く同じ式だ。

(d/dz)^(n+1) { (z-1)^-1 } = (-1)^(n+1)・(n+1)! / (z-1)^(n+2)
に何かを代入したら
(d/dz)^(n+1) { (z-1)^-1 } = (-1)^(n+1)・(n+1)! / (z-1)^(n+2)
になりました...じゃ、なにかを証明したことにはならないだろ。

(d/dx)^(n+1) { (x-1)^-1 } = (-1)^(n+1)・(n+1)! / (x-1)^(n+2)
に x=z を代入したら
(d/dz)^(n+1) { (z-1)^-1 } = (-1)^(n+1)・(n+1)! / (z-1)^(n+2)
になった...と言いたいのなら、それが証明と呼べるかどうかは
胸に手をあててよく考えてみるといい。

(d/dz)^(n+1) { (z-1)^-1 } = (-1)^(n+1)・(n+1)! / (z-1)^(n+2)
の成立を証明したいなら数学的帰納法使え
って、もう繰り返し書いてる。
反射神経でレスする前に、たまには回答に目を通してごらん。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

(dy/dx)(dx/dz)に(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)を代入して、(dy/dx)(dx/dz)から
={(x-1)^(-1)}^(n+1)･1
となるわけでは無いとわかりました。

お礼日時：2023/10/17 02:38

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/16 18:53

←お礼 10/16 14:15

既に No.2 に書いたとおり、
(d/dz)^(n+1) { 1/(z-1) } = (n+1)! (-1)^(n+1) / (z-1)^(n+2)　…①
は、z≠1, n≧0 では正しい式なので、導くことができる。
数学的帰納法を使って導くのがいいだろう。

質問文前半の式変形を使って導けるか？ という意味なら、それはできない...
というか、前半の式変形中で既に ① の等式を使ってしまっているから
導くとかの話ではない。

この回答へのお礼

>> というか、前半の式変形中で既に ① の等式を使ってしまっているから
導くとかの話ではない。

dy/dz
=(dy/dx)(dx/dz)
={(x-1)^(-1)}^(n+1)･1
=(-1)^(n+1)*(n+1)!/(x-1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)*(n+1)!
/(z-1)^(n+2)

の過程の計算で既に(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)を使っているという事だと思いますが

「式変形中で既に ① の等式を使っている」とは
(dy/dx)(dx/dz)に(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)を代入してるって事ですか？

だとしたら
(dy/dx)(dx/dz)に(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)を代入して
(dy/dx)(dx/dz)から
={(x-1)^(-1)}^(n+1)･1となるまでの過程の計算を教えて下さい。

お礼日時：2023/10/17 00:22

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/16 14:08

おや？ ひょっとして、

^(n+1) とか ^(n) とかいうのは、高階導関数の意味か！
冪乗と見間違うので、 (d/dx) を使って書くと...

y = (d/dx)^n { (x-1)^-1 }, z = x に対して、
dy/dz = (dy/dx) = (d/dx)^(n+1) { (x-1)^-1 }
= (-1)^(n+1)・(n+1)! / (x-1)^(n+2)
= (-1)^(n+1)・(n+1)! / (z-1)^(n+2).
この式の ^(n+2) は冪乗の意味だ。
変数名を x にしたり、また z に戻したりしている意図が全く判らないが。

(d/dz)^(n+1) { 1/(z-1) } = (n+1)!・(-1)^(n+1) / (z-1)^(n+2)
という等式は正しいが、上の式に何かを代入して導かれるものではない。
上の式変形の中で既に、下の式自身が使われているからだ。

下の式を証明したかったら、数学的帰納法でも使うといい。

この回答へのお礼

ありものがたりさん。
ありがとうございます。

y = (d/dx)^n { (x-1)^-1 }と置いた場合、
(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)と導けるでしょうか？

お礼日時：2023/10/16 14:15

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/16 13:54

何をやってるのか

質問の記述だけではよく判らんが、
y と z は
(dy/dx)(dx/dz)
= { (x-1)^(-1) }^(n+1)･1
が成り立つような何かなんだね？

その後の
{ (x-1)^(-1) }^(n+1)･1
= (-1)^(n+1)*(n+1)!/(x-1)^(n+2)
は x = 2, n = -1 のときにしか成り立たない式だけど、
そういう代入を行っているんだろうか？
そうでなければ、一連の式変形はこの時点で間違い。

更に下の
(-1)^(n+1)*(n+1)!/(x-1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)*(n+1)!/(z-1)^(n+2)
を見ると、z = x なのかな？
だとすると、 y,z は
(dy/dx) = { (x-1)^(-1) }^(n+1), z = x
ってことか？
全てが謎。

y = { (x-1)^(-1) }^n だと、
(dy/dx) = { (x-1)^(-1) }^(n+1) は成り立たないから
上の式へは代入できない。