写真の問題の赤線部についてですが、距離の式だけではなく、直線AA'が直線lと垂直という条件も付け加え

写真の問題の赤線部についてですが、距離の式だけではなく、直線AA'が直線lと垂直という条件も付け加えれば、答えが出ると思い、「A'H=AH、
直線AA'が直線lと垂直」という2つの式を連立させてa,bの値を求めようとしたのですが、求まりませんでした。この考え方はどこが間違っているのでしょうか？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/30 21:03

考え方は、それでいい。

計算量も、模範解答とあまり変わらないし。
答えが合わなかったとしたら、
単純な計算ミスではないかと思う。

まず、AH = AH' について、
点と直線の距離の公式を使って、
|1-(2・3+1)|/√5 = |y-(2x+1)|/√5.　　←[1]

つぎに、AA’⊥ L について：
直線L の傾きが 2 だから、これに垂直な直線の傾きは -1/2.
かつ、点A(3,1) を通るので、直線AA' の式は
y = (-1/2)(x - 3) + 1.　　←[2]


[1] の絶対値を外して整理すると、
y-(2x+1) = +6　　←[1-1]
または
y-(2x+1) = -6　　←[1-2]

[1-1]と[2]を連立して解くと (x,y) = (-9/5,17/5) で、これが A’.
[1-2]と[2]を連立して解くと (x,y) = (3,1) で、これが A.

ちゃんと A' が求まる。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/30 19:55

H=((a+3)/2,(b+1)/2)

とすると

|AH|^2
=|((a+3)/2,(b+1)/2)-(3,1)|^2
=|((a-3)/2,(b-1)/2)|^2
=(a-3)^2/4+(b-1)^2/4

|A'H|^2
=|((a+3)/2,(b+1)/2)-(a,b)|^2
=|((-a+3)/2,(-b+1)/2)|^2
=(a-3)^2/4+(b-1)^2/4

|AH|^2=(a-3)^2/4+(b-1)^2/4=|A'H|^2

|AH|^2=|A'H|^2

|AH|=|A'H|
の左辺と右辺は全く同じ式になって恒等式になるから

|AH|=|A'H|という距離の式を作る場合は

H=((a+3)/2,(b+1)/2)
と
するのは
間違っている

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/30 17:01

直線L:y=2x+1に垂直な直線の傾きは

-1/2
だから
点A(3,1)を通り
直線L:2x+1に垂直な直線の式は
y=(-1/2)(x-3)+1
y=(-1/2)x+5/2
だからこの直線と
直線L:y=2x+1の交点をH(x,y)とすると
2x+1=y=(-1/2)(x-3)+1
2x+1=(-1/2)x+5/2
(5/2)x=3/2
5x=3
x=3/2
y=2(3/2)+1=4
∴
H=(3/2,4)

(a,b)はy=(-1/2)x+5/2上の点だから
b=(-1/2)x+5/2
2b=-a+5
a+2b=5
a=5-2b

|AH|^2=|(3,1)-(3/2,4)|^2=|(3/2,-3)|^2=45/4
=|A'H|^2=|(a,b)-(3/2,4)|^2=|(a-3/2,b-4)|^2=(a-3/2)^2+(b-4)^2
だから
(a-3/2)^2+(b-4)^2=45/4
↓これにa=5-2bを代入すると
(5-2b-3/2)^2+(b-4)^2=45/4
(7/2-2b)^2+(b-4)^2=45/4
4b^2-14b+49/4+b^2-8b+16=45/4
5b^2-22b+17=0
(b-1)(5b-17)=0
b=1 または b=17/5
b=1のときa=5-2b=3
b=17/5のとき
a=5-2b=5-2*17/5=(25-34)/5=-9/5
∴
A'(-9/5,17/5)

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/30 14:30

＞この考え方はどこが間違っているのでしょうか？

間違ってはいませんよ。
面倒くさいだけです。

いったいどんな連立をさせて、どのように解いたのですか？
それを書いてみてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。僕の計算ミスでした
求めることができました。

お礼日時：2023/10/30 19:40