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量子力学の記述での交換子関係とは何ですか?状態を定義する時に重要な項目としてあるみたいなのですが。結構大事な要素って感じです。

A 回答 (1件)

交換子[A, B]は、数学においてはAとBについての演算が可換性からどの程度掛け離れているかの指標のようですが、量子力学における交換子は[A, B]= A B - B Aです。

(古典力学にはポアソン括弧式の形の交換関係があります)
これは、ハイゼンベルクが元素の輝線スペクトルを解析しようとした時、同じ方向の位置xと運動量p_xについて[x, p_x]= x p_x - p_x x = h/(2πi)となる関係を想定することが不可欠だったことが始まりです。一方、シュレーディンガーは水素原子の輝線スペクトルをド ブロイ波に対する(古典的な)波動方程式を解いて得ることが出来ました。さらに、シュレーディンガーはxと{h/(2πi)} (d/dx)を位置と運動量の演算子と見なすと関数ψに対して[x, {h/(2πi)} (d/dx)]ψ = x {h/(2πi)} (d/dx) ψ - {h/(2πi)} (d/dx) x ψ = h/(2πi) ψとなって、ハイゼンベルクが提起した交換関係と同様の関係が得られことを見出しました。そして、xと{h/(2πi)} (d/dx)をそれぞれ位置と運動量の演算子と見なした所謂シュレーディンガー方程式がハイゼンベルクらの行列方程式と同じ解をもたらすことに気付き、さらに彼の方程式が行列力学と数学的に同じであることを明らかにしました。(朝永伸一郎の”量子力学I”に詳しい説明があります)
このように、位置と運動量の交換関係は量子力学の基本です。
ちなみに、この交換関係は(位置xとそれと同じ方向の運動量p_x), (エネルギーEと時間t), (角運動量Lとラジアンで表した角度φ)等の組み合わせのように、それらを乗じると角運動量の次元になる場合に成り立ってます。
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