M={(x,y)∈R^2|y=x^2}がｃ∞級多様体であることを示せという問題の証明方法が知りたいで

M={(x,y)∈R^2|y=x^2}がｃ∞級多様体であることを示せという問題の証明方法が知りたいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/14 16:52

M={(x,y)∈R^2|y=x^2}

f:M→R
(x,x^2)∈M→f(x,x^2)=x
とすると

fは同相写像になることを証明すればよい

fは全単射写像で
fは連続で
逆写像
f^(-1)も連続

である事を証明すれば
fは同相写像になることを証明したことになり
MとRは同相になることを証明したことになり
MはC∞級多様体であることを証明したことになる

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/14 11:14

M={(x,y)∈R^2|y=x^2}

f:M→R
(x,x^2)∈M→f(x,x^2)=x
とすると

fは同相写像になるから

MとRは同相だから

Mはｃ∞級多様体である

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/13 13:23

具体的にひとつ地図帳を作ってみればよいでしょ。

φ：M→R；(x,x^2)→x を唯一の地図とする地図帳は、
M上の実一次C^∞級の地図帳になっていますよね。