大至急！物理基礎

物理基礎についてです。下の問題では、小球をばねの上におくと、自然長からaだけ縮んで静止しました。
この時のばね定数kを求めたい時、1/2ka^2=mgaでは求められないのはなぜでしょうか？
解答解説では、ka=mgで求めています。重要なことはは弾性力に逆らう力が一定ということだと思いますが、前者の式の間違いを見つけられません。

質問者からの補足コメント

• aで静止しているのに、運動エネルギーがあるのですか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/25 18:37

• 回答ありがとうございます。
  それなら、高さ0の所とaのところで、力学的エネルギーの保存をもとにして等式を結んでkを求めることは出来ないのですか？
  私の考えでは、
  高さaのとき、運動エネルギー0、ばねによる位置エネルギー0、高さによる位置エネルギーmga
  高さ0のとき、運動エネルギー0、ばねによる位置エネルギー1/2ka^2、高さによる位置エネルギー0
  となり、1/2ka^2=mgaという式ができました。確かに、力に着目して作る式が正しいことはわかりますが、別解として、私の考えのどこが違い、なぜ解くとk=2mg/aとなってしまうかが分かりません。
  返信お待ちしております。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/25 20:01

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2023/11/26 17:50

力学的エネルギー＝

ばねの位置エネルギー＋重力の位置エネルギー＋運動エネルギー
が保存するのは単振動運動するときだけです。
球を静かにばねのうえにおいて手を離すとあなたの図の0点を
中心とする振幅aの単振動が起こります。このときに上の意味の
力学的エネルギー保存がこの運動の各位置でで成立ちます。
0点では球の力学エネルギー＝1/2ｋa²＋球の運動エネルギー
高さaでは力学エネルギー＝ｍｇa　だから
1/2ｋa²＋球の運動エネルギー＝ｍｇaが成立ちますが
0点での運動エネルギーはすぐにはわからないので
つり合い条件は求まりません
ただ、球が振動の1番下に来た時は球の速度が0なので
この地点での力学エネルギー＝ｍｇ(－a)＋1/2ｋ(2a)²
これが高さaでの力学エネルギーｍｇaに等しいから
ｍｇa＝ｍｇ(－a)＋1/2ｋ(2a)²これからｍｇ＝ｋaが出てきます。

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/11/26 09:26

mをバネの自由長から離しただけでは、速度によつて振動して

静止しない。

静止させるため、バネに加わる力 F=-mg-kx と釣り合う -F を
mに加え、v≒0 のまま下げていく。

このとき、バネに加わっている力は Fであり、バネに成される
仕事は
　∫[0,-a] Fdx=mga-ka²/2
となるが、この仕事がバネの内部エネルギー
　ka²/2
となるから
　ka²/2=mga-ka²/2 → ka²=mga → ka=mg
となる。


・・・・と思うのだが、自信が無い。～(^^ )～

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/11/26 03:57

どっちでも求まりますよ。

①
>ka=mg

球を下から手で支えながらゆっくりと球の位置を下げてゆくと
途中で、弾性力と重力が釣り合い
球が下がらなります。この時のバネの縮み量をaとすると

これはフックの法則そのものの実験なので k=mg/a です。
a=mg/k です。

②
>1/2ka^2=mga

これは、弾性エネルギー=位置エネルギーとなるバネの縮み量
aを観測する方法ですが、この場合のaとは何でしょうか?

自然長のバネの上に球をそっと乗せ、手を離すと
球が落下して行きますか、最初は加速するものの
途中で減速し、やがて止まります。止まった瞬間のバネの
縮み量がaです。ややこしいのでこれをa′としましょう。

k=2mg/a′
a'= 2mg/k

どちらでもkは求まります。

a′=2a

の関係になります。

つまり2の式の中のaは別物で
どうやってaを観測したかによって使う式が異なるのです。

>自然長からaだけ縮んで静止しました。

これだけではどっちの式を使うべきか不明ですね。
説明不足です。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/26 00:53

No.3 です。

「お礼」および「補足」に書かれたことについて。

＞高さ0のとき、運動エネルギー0、ばねによる位置エネルギー1/2ka^2、高さによる位置エネルギー0

この「運動エネルギー0」が間違っています。

バネのおもりをつるしてつり合った位置を原点とします。（これがおそらく「0の地点」ということかと思います）

バネの自然長で「静止した質量 m」を放せば、その位置での力学的エネルギーは
・位置エネルギー：Ep1 = mga
・バネの弾性エネルギー：Es1 = 0 （自然長）
・運動エネルギー：Ek1 = 0　（静止した状態で放す）

この位置で「静止状態から放す」ことをすれば、おもりは「つり合い位置を中心として単振動」の運動をします。
そして、バネのおもりをつるしてつり合った位置では
・位置エネルギー：Ep0 = 0
・バネの弾性エネルギー：Es0 = (1/2)ka^2
・運動エネルギー：Ek0 = (1/2)mv^2
（v は、この点を通過するときの速さ）

になります。

バネ定数は
　F = -mg = -kx
より
　k = mg/a

これを使えば　
　Es0 = (1/2)(mg/a)a^2 = (1/2)mga
従って、力学的エネルギー保存則より
　Ek0 = (Ep1 + Es1 + Ek1) - (Ep0 + Es0)
　　　= mga - (1/2)mga
　　　= (1/2)mga
となります。

つまり、質問者さんが考えているのは
「バネの自然長で静止した質量 m」と「バネのつり合い点での m」
の状態なので、「バネのつり合い点」には「単振動の運動エネルギー」も含まれることになります。

もし
「バネの自然長で静止した質量 m」と「バネのつり合い点で静止した質量 m」
を比較したいのであれば、バネの自然長からつり合い点まで『静かにおろす』ための『手のする仕事』を考えないといけません。
それは
　ΔE = ∫[0→-a](-F)dx = ∫[0→-a](kx)dx = (1/2)ka^2　　　①
になります。

①はおもり m を支持する「手」のする仕事であり、その分だけ「重力」のする仕事が減少します。
「手のする仕事」が 0 になるように「バネの自然長」で放せば、つり合い位置での運動エネルギーは 0 にはなりません。
力学的エネルギー保存にはその運動エネルギーも考慮しないといけません。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/25 23:45

位置エネルギー：mga とは、

・一定の重力
　F1 = -mg
に逆らって距離 a だけ移動するのに要する仕事
に等しいのです。
（重力に「マイナス」が付いているのは、変位（高さ）の上向きが正なのに対して、重力は下向きだから）
重力に逆らって 0 → a に動かすのに必要な仕事は
　E1 = ∫[0→a](-F1)dx = ∫[0→a](mg)dx = mga
になります。

一方、バネ定数 k のばねでは、変位 x に対する復元力は
　F2 = -kx
（マイナスが付くのは、変位 x と逆向きの力だから)
となり、その力による「弾性エネルギー」は、その力に逆らって 0→b に動かすのに必要な仕事に等しいので
　E2 = ∫[0→b](-F2)dx = ∫[0→b](kx)dx = (1/2)kb^2
になります。

上から分かるように、
・重力は高さによらず一定
なのに対して
・ばねの復元力は中立位置からの変位に比例して変化する
のです。
従って、「同じ変位」に対するエネルギーの値は等しくなりません。
上の例でいえば、一般には
　a=b のときには E1=E2 にならない
ということなのです。

E1, E2 を「イコール」とする方程式は任意の変位に対しては成り立たないので、それによって方程式を立てることはできないのです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。それなら、0の地点での小球のエネルギーはどうなるのですか？E1, E2 をイコールにすることはできないことはわかりましたが、エネルギーの保存は成り立つはずです。他にどのようなエネルギーが関わっているのでしょうか？できれば式で正しい方程式を表してほしいです。それとも例外的にエネルギーの保存が成り立っていなかったりでもするのでしょうか？
再回答お待ちしております。

お礼日時：2023/11/26 00:10

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/11/25 19:35

ばね定数の定義がk=力/変位だから。

式を変形すると、k×変位=力
図で言うと、変位がaで力がmgなんだから、ka=mg

1/2ka^2=mgaじゃkの定義に反する。
k=2mg/aとなり、k=2×力/変位となって倍の値になってしまう。

No.1 回答者： ヤフーを捨てた男 回答日時： 2023/11/25 18:32

運動エネルギーを無視してるからです