この計算になる方法を教えてください。 どうして18や30が出てくるんですか

この計算になる方法を教えてください。
どうして18や30が出てくるんですか

No.8 回答者： sc348253 回答日時： 2023/12/01 16:14

k^2 -6k+5=k^2 -k-5k+5=k(k-1) -5(k-1) より

与式＝Σ k;1→n {k(k-1) -5(k-1)}
ここで　K=k-1 とすれば　k=K+1 だから
k;1→n のとき　K;0→n-1 より
与式＝Σ　K;0→n-1 {(K+1)K -5K}
=Σ　K;0→n-1 (1/3){(K+2)(K+1)K-(K+1)K(K-1)}
-5Σ　K;0→n-1(1/2)( (K+1)K-K(K-1) )}
=(1/3)(n+1)n(n-1)-(5/2)n(n-1)
以下略

差分ですれば
k^2 -6k+5=k^2 -k-5k+5=k(k-1) -5(k-1) より
与式
＝Σ k;1→n {k(k-1) -5(k-1)}
=⌠ k;1→n　( k^【2】-5(k-1)^【1】)=
=[(1/(2+1) )k^【2+1】]　k;1→n+1
－5[(1/(1+1))(k-1)^【1+1】]　k;1→n+1
=(1/3)[k(k-1)(k-2)]　k;1→n+1
－5[(1/2)(k-1)(k-2)] k;1→n+1
=(1/3)(n+1)n(n-1) -(5/2)n(n-1)
とかなり簡潔になります　(微積分と似ている所があります！)
なお　⌠ は和分　【数字】は差分　記号としました！

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2023/12/01 15:37

全体を (1/6)n の共通因子で くくっただけです。

6*(1/2)*n(n+1)=(6/2)*n(n+1)=(18/6)n(n+1) 。
5n=(30/6)n 。

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2023/12/01 15:09

{　}の見落としですね　つまり

＝（1/6）ｎ（ｎ＋１）（2ｎ＋１）‐ 6＊（1/2）ｎ（ｎ+1）+5ｎ
＝（1/6）ｎ（ｎ＋１）（2ｎ＋１）‐ (6*3)＊（1/(2*3) ）ｎ（ｎ+1）+(5*6)(1/6)ｎ
＝（n/６）{（n+1)(2n+1) - 18(n+1) +30 } となります

差分の考えを高校生ですれば
k^2 -6k+5=k^2 -k-5k+5=k(k-1) -5(k-1) より
与式＝Σ k;1→n {k(k-1) -5(k-1)}＝Σ k;1→n k(k-1) -5　Σk;1→ｎ　(k-1)}
　　=(1/3)Σ k;1→n　{(k+1)k(k-1) - ｋ（ｋ-1）（ｋ-2） })　-５（１/２）Σ k;1→n　{k（k-１）-　（ｋ-1）（ｋ-2）}
　　=（１/３）{(3*2*1-2*1*0)+(4*3*2-3*2*1)+......+( (n+1)n(n-1)
- (n-1)(n-2)(n-3)-)} -5 (1/2){（2*1-1*0）+（3*2-2*1）+.....+( n(n-1)- (n-1)(n-2) )}
=(1/3)(n+1)n(n-1) - (5/2)n(n-1)
=(2/6)(n+1)n(n-1) - (15/6)n(n-1)
ここで　（1/6）ｎ（ｎ-1） でまとめられるから
　　 ＝（1/6）ｎ（ｎ-1）{2（ｎ+1）-　15}　
　　 =（1/6）ｎ（ｎ-1)(2n-13)
差分で回答すればもっと　わかりやすいが！

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/12/01 08:59

(1/6)n で括っただけだよね。

分配法則を思い出そう。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/12/01 00:51

2行目にマーカーを付けた

　6･(1/2)n(n + 1) + 5n

を、第1項目とまとめるために「(1/6)n」でくくったからです。

　6･(1/2)n(n + 1) + 5n
= (1/6)n{18(n + 1) + 30}

になるでしょ？

3行目の「大カッコ { }」に着目してね。

No.3 回答者： kamiyamasora 回答日時： 2023/11/30 22:56

３＝{（６×３）／６}＝18／6

５＝{(6×５）／６｝＝３０／６

ということです。

No.2 回答者： カンヘリン 回答日時： 2023/11/30 22:32

間違えた

No.1 回答者： カンヘリン 回答日時： 2023/11/30 22:31

6nを黄色の部分にかけて計算しやすいようにしてる