数学の問題

花子さんのクラスでクリスマスカードを作ることとなった。花子さんのクラスの生徒は、クリスマスカードを1時間に1枚作れる人のグループA、1時間に2枚作れる人のグループB、1時間に3枚作れる人のグループCのいずれかにわけられ、3つのグループA、B、Cは
0人であってもよいものとする。
ある1時間で完成したクリスマスカードが50枚であるとき、花子さんのクラスの人数✕がとり得る値は何通りあるか。次の中から1
つ選べ。
【A】28通り
【B】34通
【C】40通り
【D】 50通り　　　教えてください

No.4 回答者： sisido166 回答日時： 2024/02/10 21:26

２番で回答した者です。

２番の回答の後半部分が間違っていたので訂正して補足します。
17人から50人の間で成立しない人数があるかどうかですが、ABCの人数を(A,B,C)の形で表すと、17人の時は(0,1,16)となります。
17人から1人増やして18人にするには、Cを1人減らしてAとBを1人ずつ増やせばよいので、これ繰り返していきます。すると、33人の時には(16,17,0)となります。
ここからはBを1人減らすごとにAを2人増やしていけば最終的に(50,0,0)に行き着きますので、成立しない数は存在しないという事になり、「34通り」がそのまま答えになると分かります。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/10 14:45

a+2b+3c = 50 となる 0 または自然数の a,b,c の組を考えるとき、

X = a+b+c の値は何通りあるか？ ってことですよね。

0 ≦ 2b+3c ≦ 50 であれば、a で調節して a+2b+3c = 50 となるようにできます。
X = (50-2b-3c)+b+c = 50-b-2c なので、問題は

b ≧ 0, c ≧ 0, 2b+3c ≦ 50 となる整数 b,c に対して
b+2c = 50-X となる X の取り得る値の範囲は？ と書き換えられます。

b,c平面の図を書いて考えましょう。
ポイントは 2b+3c = 50 と b+2c = 50-X の傾きの大小関係で、
図から、
50-X が最小になるのは (b,c) = (0,0) のとき 50-X = 0、
50-X が最大になるのは (b,c) = (1,16) のとき 50-X = 33
だと判ります。X の値は、17 から 50 までの 34 通りです。

No.2 回答者： sisido166 回答日時： 2024/02/10 14:16

単純に考えて、クラスの人数の最大値は50人（A50人、B0人、C0人）、最小値は17人（A0人、B1人、C16人）なので、17人から50人までの34通りが答えになるのではないかと。

時間当たりの枚数が1，2，3であり、この三つの数を組み合わせればすべての自然数を作れるため、17から50までの間に欠ける（作れない）数は存在しないので、そこを考える必要はありません。

No.1 回答者： ゆたモン0323 回答日時： 2024/02/09 22:18

こんにちは。

３枚作れる人の数をA、２枚作れる人の数をB、１枚作れる人の数をC、合計人数をXとします。
こういう問題は最大作れる数で整理した方が分かりやすいのが定石です。

＜パターン①＞
Aが最大になるのはA＝16、B＝1、C＝０でX＝１７人です。
ここからAを減らしていく時、一旦Bが最大となる場合のみで考えると
A＝15の時、B＝2、C＝1でX＝１8人
A＝14の時、B＝4、C＝0でX＝１8人
A＝13の時、B＝5、C＝1でX＝１9人・・・
となります。
ここで、Xが１人ずつ増えていくことがわかります。

普通はBをCに置き換える場合も考える必要がありますが、Aを減らしていく場合Xは１人ずつ増えていくため、いったん置き換える場合は考える必要はなさそうです。
そのままAを最小にすると、
A＝０の時、B＝25、C＝０でX＝25人
となり、このパターン①で25人-17人+1＝9種類の人数があります。

＜パターン②＞
①の最大人数であるA＝０、B＝25、C＝０、X＝25人の時にBをCに振り替えていき、さらに多くなる人数を探査します。
A＝０、B＝24、C＝2でX＝26人
A＝０、B＝23、C＝4でX＝27人
どうやら１人づつ増えそうですね。
・・・
A＝０、B＝0、C＝50でX＝50人
したがって、このパターン②では50-26+1＝25種類の人数があります。

したがって、パターン①とパターン②の合計が「数✕がとり得る値」になるので、9+25＝34パターンとなります。

答は【B】34通りです。

この回答へのお礼

全く手につかず，どう考えたらと悩んでいました。丁寧な説明でありがとうございます。助かりました！

お礼日時：2024/02/10 00:45