内部インダクタンスの計算方法がわかりません。 半径aの円形の断面で、長さL、透磁率μの円柱導体を電流

内部インダクタンスの計算方法がわかりません。

半径aの円形の断面で、長さL、透磁率μの円柱導体を電流iが断面を一様な密度で流れている。
内部インダクタンスL′を求めろ。(a<<L、磁気エネルギーは用いずに)

((磁気エネルギーを使う方法はわかります。))

内部なので0≦r≦aを考える

アンペールの法則より
∮B・dl=μi(πr^2/π^a2)
∴B=μir/2πa^2

次にrからr+drで考える。
dΦ＝BdSで、dS=ldr→dΦ=Bldr

∫[0→a]Bldrで Φ=L′iを比較してL′を導く

ではなぜダメなのでしょうか。

「交鎖するの全体のはr^2/a^2だから」
「r^2/a^2巻きのコイルと考えられるから」などの説明があったのですが理解できません。

N回巻きのコイルならわかるのですか、円柱導体(単なる金属の長い棒)なのに○○回巻きという考えに納得できません。

Bを求める時点で、r^2/a^2倍の電流を考えているのにさらにr^2/a倍していて、重複している気がします。

質問者からの補足コメント

• 下から二行目 のaは２乗でした
  
  Bを求める時点で、r^2/a^2倍の電流を考えているのにさらにr^2/a^2倍していて、重複している気がします。

    補足日時：2024/02/13 22:53

No.3 回答者： phenylalanine 回答日時： 2024/02/15 10:57

半径 r 地点の Bを決定するのは、総電流の r^2/a^2倍ですが、B dr と鎖交している電流もまた総電流の r^2/a^2 倍です。

この、部分インダクタンスのバームクーヘン状合算が全インダクタンスです。なお導体を柱状節理状に分割、細線の集まりと考えれば、r^2/a^2　なる係数は本数、巻数の概念に対応させられます。内部インダクタンスは、導体内全体を往路とし、その外形に隙間なく被さる管（厚さ零）を復路として定義されていることにも着目ください。

No.2 回答者： d9win 回答日時： 2024/02/15 02:44

貴方の次の質問にあるように、インダクタンスLは磁束φを電流Iで除したL= φ/Iから求めることができます。

直線伝路の周りには磁界Hが生じて磁束密度B= μHも存在します。これを無限遠まで積分したのが磁束φになりますので、当然インダクタンスLが存在してます。このインダクタンスLは勿論”巻数”とは無縁です。そもそも、コイルのインダクタンスはこの直線電路のLを基にして計算したものなので、巻数nを用いたインダクタンスLの計算は言わばLを求める応用問題なのです。

さて、貴方の(A)式の解釈は間違ってます。この(A)式は、(B)式の”アンペールの周回路の法則”の電流Iをi(πr^2/πa^2)として、半径rの円周にそって積分したものにμを乗じる計算です。
∮B・dl = μ i (πr^2/πa^2) … (A)
H = I / (2πr) … (B)
ところが、(B)式は「電流Iが流れる長い直線伝路からrだけ離れた位置の磁界Hを表す」もので、半径aの電線内の半径r以下の領域に流れる電流が生む磁界Hを表すものではありません。この(B)式の積分は、円周を巡るのでなく半径方向に問題としている領域で行わねばなりません。
問題とする領域は、電線の外側に生じる磁束はr= aから∞になります。今回問題にしている電線の内側の磁束に因るインダクタンスL'に対する積分範囲はr= 0からaまでとして、電流Iは(r/a)^2 I になります。勿論、両者の和が電線全体のインダクタンスになります。

ちなみに、#3回答にあるサイト<https://jeea.or.jp/course/contents/01157/>の(16)式の結果は間違ってませんが、途中で巻数nを用いているのは意味がありません。
また、(20)式や(21)式の結果も間違いではないですが、途中の計算の巻数n’は意味がありません。特に(17)式でn’= (x/r)^2としているのは間違いでn’= 1で十分です。このn’が必要になったのは、(19)式の積分は本来xについての2重積分でなければならないのに1重積分としたことによる帳尻合わせの為でしょう。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/13 21:41

誰にも理解できません(まともなら)。

未だに、こんな代物を堂々と掲げている神経が理解でき
ない。

https://jeea.or.jp/course/contents/01157/

https://www.amazon.co.jp/%E8%A9%B3%E8%A7%A3%E9%9 …

こんなものにかかわりあうのは無駄です。

なお、インダクタンスの根拠は「線」状回路の鎖交磁束
なので(ノイマンの公式)、電流が広がりをもつ場合のイ
ンダクタンスとは何か検討しなければならないのに「巻
き数」などと臍で茶が沸かせる。(｀_´メ)

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
やはり導体棒なのに巻き数が定義されるのはおかしいですよね。大学の教授にきいたら、r^2/a^2かければいいだけじゃんっていわれてよけい困りました。等式成り立ってなくやっぱり変です。

お礼日時：2024/02/14 18:58