必要十分条件についてです！

必要十分条件の問題です。

x≠０かつｙ≠０は、ｘ＋ｙ≠０またはｘ－ｙ≠０であるための？？
という問題で、対偶から考えて必要十分条件だと思ったのですが、答えでは十分条件のみとなっています。

わかる方、解説お願いしたいです。。

No.7 回答者： Equations 回答日時： 2024/02/21 09:17

x≠０とy≠０のどちらか一方が真であってもｘ＋ｙ≠０とｘ－ｙ≠０は成り立つので、x≠０かつｙ≠０は十分条件となる。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/14 09:55

この問題を

> 対偶から考え

るのは良いアイデアだと思います。しかし、どこかのステップでミスをやらかしたのでしょう。確認してみましょう。

　（x≠０かつｙ≠０）
の否定は
　（x=0またはy=0)
だし、
　　(ｘ＋ｙ≠０またはｘ－ｙ≠０)
の否定は
　（ｘ＋ｙ=０かつｘ－ｙ=０）
である。（こうすれば不等号を考えなくて良くなり、xやyの値が固定されるのでイメージが把握しやすい。だから良いアイデアです。）

　さて、
　　　（ｘ＋ｙ=０かつｘ－ｙ=０）
は連立方程式です。これは解けて、解は
　　（x=0かつy=0）
であり、他の解はない。
　ということは
　　　（ｘ＋ｙ=０かつｘ－ｙ=０）
と
　　（x=0かつy=0）
は同値です。

　そしてもちろん
　　（x=0かつy=0）ならば （x=0またはy=0)
は言えるが、その逆は言えない。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/14 08:34

必要条件の反例

x=1、y=0

これで十分だと思いますが

>対偶から考えて
必要条件の対偶
(x≠０かつｙ≠０)の否定→(ｘ＋ｙ≠０またはｘ－ｙ≠０)の否定
を考えてみた ということでしょうか？

x=0 又はy=0 → x+y=0 かつ x-y=0
はやはり反例 x=1、y=0 が有ります。

十分条件の対偶
(ｘ＋ｙ≠０またはｘ－ｙ≠０)の否定→ (x≠０かつｙ≠０)の否定
を考えてしまったということではないですよね？

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/02/13 20:35

x≠０かつｙ≠０と言う集合をP、ｘ＋ｙ≠０またはｘ－ｙ≠０をQとする

xy平面において
Pの補集合は
xは0またはy＝0
→x軸またはy軸上にある点

Qの補集合はx+y＝0上の点かつx-y＝0上の点
→点(0、0)のみ

ゆえにQの補集合はPの補集合の部分集合です
↔PはQの部分集合

ゆえに、PはQであるための十分条件
です

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/13 19:49

(x≠0かつy≠0)とする

(x+y≠0 または x-y≠0)でないとする
(x+y=0 かつ x-y=0)
2x=(x+y)+(x-y)=0
x=0
となって
x≠0に矛盾するから
∴
x+y≠0 または x-y≠0
だから
(x≠0かつy≠0)は(x+y≠0 または x-y≠0)であるための十分条件

x=1
y=0
とすると
x+y=1≠0
x-y=1≠0
(x+y≠0 または x-y≠0)
だけれども
y=0
だから
(x≠0かつy≠0)でない
だから
(x≠0かつy≠0)は(x+y≠0 または x-y≠0)であるための必要条件ではない

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2024/02/13 19:17

対偶を取るには補集合について考える必要があります。

x≠０かつｙ≠０の補集合はx=0またはy=0です。
ｘ＋ｙ≠０またはｘ－ｙ≠０　の補集合はx+y=0かつx-y=0です。
これらをA,B と置くとBならばAは成り立ちますがAならばBは成り立ちません。
これはつまりAとBは同値ではないことを意味します。
同値ではないとは必要十分条件ではないということです。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2024/02/13 18:18

(x+y)(x-y)=x²+y²　ですので、(x,y∈Ｒであるなら)

x≠0 and y≠０　⇒　x+y≠0, x-y≠0 です。
当然ながら、
x≠0 and y≠０　⇒　x+y≠0 or x-y≠0
も成り立ちます。

一方、
x+y≠0 or x-y≠0　⇒　x≠0 and y≠０　　？
は成り立ちませんので、（反例　ｘ＝0　ｙ＝1）

x≠0 and y≠０　⇒　x+y≠0 or x-y≠0
となります（十分条件）。