数学IIのこの問題を解説してほしいです 最終的な答えは 接線y=1 接点(0,1)、接線4x-3y=

数学IIのこの問題を解説してほしいです
最終的な答えは 接線y=1 接点(0,1)、接線4x-3y=5 接点(4/5,-3/5) です
特に2個目の答えがどうしてそうなるのかが分かりません

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2024/02/19 11:45

円 x^2+y^2=1 上の点 P (a,b) とすれば

ベクトルOP=(a,b)
ベクトルPA=ベクトルOA - ベクトルOP=(2-a,1-b)
ベクトルOP 内積　ベクトルPA=0 より
a(2-a)+b(1-b)=0
2a+b=a^2+b^2=1 故に　b=1-2a から

∴a^2+(1-2a)^2=1
∴5a^2 -4a=0
∴a(5a-4)=0
∴a=0,4/5 (3)より　b=1, -3/5 (順位不動)
この値を(2)に代入すれば
接線y=1 接点(0,1)、接線4x-3y=5 接点(4/5,-3/5) です

なお　No2の訂正
縁(1)の円周上の点(x1,y1)における接線の式は　y-b= ( -a/b)(x-a)
→
円(1)の円周上の点(a,b)における接線の式は　y-b= ( -a/b)(x-a)

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2024/02/18 18:05

点と距離の公式

判別式(重解)
法線
微分　など解き方いろいろあり

https://manabitimes.jp/math/1131
中心が原点では無い場合の接線の方程式
円　(x−a)2+(y−b)2=r2　があって
この周上の点　(x1,y1)　における接線は、
　(x1−a)(x−a)+(y1−b)(y−b)=r2

x^2+y^2=1　...........................(1)
微分して
2x+2y dy/dx=0 ∴dy/dx= -x/y よって
縁(1)の円周上の点(x1,y1)における接線の式は
y-b= ( -a/b)(x-a)
∴(a/b)x+y-b-a^2/b=0
∴ax+by=a^2+b^2=1^2　　..........(2)

この接線が(2,1)を通るから
2a+b=1 ∴b=1-2a ...........(3)
また (2)の右辺から
a^2+b^2=1
∴a^2+(1-2a)^2=1
∴5a^2 -4a=0
∴a(5a-4)=0
∴a=0,4/5 (3)より　b=1, -3/5 (順位不動)
この値を(2)に代入すれば
接線y=1 接点(0,1)、接線4x-3y=5 接点(4/5,-3/5) です

あとの解法は　youself で！

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/02/16 21:27

点と直線の距離の公式を利用

など、解法は幾通りもあります

一例
接点の座標をP(s、t)とする
円の接線の公式からPを通る接線の式は
sx+ty＝1…①
これが点(2、1)を通るから
2s+t＝1…2
Pは円周上の点だから
s²+t²＝1²…3
2、3の連立方程式を解くと
s＝0、t＝1
または
s＝4/5、t＝−3/5
これらのs、tの組の値を
1へ代入すると
y＝1(答え)
または
4x−3y＝5(答え)
となります

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2024/02/16 19:21

円の外から 円の引いた接線は ２本あることは、理解できますね。

接線は 直線ですから ax+by+c=0 の形になります。
個の直線が 点（２、1）と x²+y²=1 上の２点を通ることになります。円周円周上の 接点の座標を (n, m) とすれば、
連立方程式で n, m が２つづつ 求まる筈です。