数列の問題の解答で、 a[n+1]－3a[n]=3(a[n]－3a[n－1])より a[n+1]－3

数列の問題の解答で、
a[n+1]－3a[n]=3(a[n]－3a[n－1])より
a[n+1]－3a[n]=3^n－1(a[2]－3a[1])となっているのですが、これって例えばb[n+1]=3b[n]という漸化式があった時、本来ならb[n]=b[1]3^n－1と持っていくのを、
b[n+1]=b[1]3^n－1としてますよね？これってどういうことなんですか？

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/15 09:59

a[n+1]－3a[n]=3(a[n]－3a[n－1])より

a[n+1]－3a[n]=3^(n－1)(a[2]－3a[1])

b[n+1]=3b[n]

b[n]=a[n+1]－3a[n]
とすると

b[n]=b[1]3^(n－1)
か
b[n+1]=b[1]3^n
となる

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/15 19:40

a[n+1]－3a[n]=3(a[n]－3a[n－1])

の
右辺の
a[n]－3a[n－1]
を
b[n]=a[n]－3a[n－1]
として
b[n+1]=3b[n]
としているのではありません

b[n]=a[n]－3a[n－1]
とすると

n=1のとき

b[1]=a[1]-3a[0]

となって　a[0]は存在しないのだから

b[n]=a[n]－3a[n－1]
とするのは間違いだから

b[n]=a[n+1]－3a[n]

として

b[n]=3b[n-1]

としているのです

b[n]=a[n+1]－3a[n]
としているのだから

a[n+1]－3a[n]=3^(n－1)(a[2]－3a[1])
の
左辺はb[n+1]ではなくb[n]なのだから

b[n+1]=b[1]3^n－1としてはいません

b[n]=b[1]3^(n－1)
としているのです

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2024/04/15 15:00

こういう疑問がでるのは漸化式のことがよく理解できていないのでしょう

a[n+1]－3a[n]=3(a[n]－3a[n－1])より
a[n+1]－3a[n]=3^n－1(a[2]－3a[1])　とは
　　a[n+1]－3a[n]=3(a[n]－3a[n－1])=3^2(a[n-1]－3a[n－2])
3^3(a[n-2]－3a[n－3])=..............=3^(n-2)(a[3]－3a[2])
=3^n－1(a[2]－3a[1])
b[n+1]=3b[n] なら ( b[n]=3b[n-1]=......=b[1]3^n－1 は合っています！)
　　　 =3^2b[n-1]=3^3 b[n-2]=..............=3^n-1 b[2]=3^n b[1]
ですので　b[n+1]=b[1]3^n－1　は間違い

No.6 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2024/04/15 13:49

a[n]の表記をf(x)と書きかえてみると

n≧1
が
x≧1
の定義域の条件に当たります。
b[n]のnもxになっていなければなりません。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/15 09:06

a[n+1]－3a[n] = 3(a[n]－3a[n－1]) より

a[n+1]－3a[n] = (3^(n－1))(a[2]－3a[1]) なら、

b[n+1] = 3b[n] から
b[n+1] = b[1]3^(n－1) ではなく、ちゃんと
b[n] = b[1]3^(n－1) ととしている。

a[ ] と b[ ] の対応が
b[n] = a[n+1]ーa[n] であることに注意。
そうでないと、n = 1 のときの添字が合わない。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/15 05:36

a[n+1]－3a[n]=3(a[n]－3a[n－1])より

a[n+1]－3a[n]=3^(n－1)(a[2]－3a[1])

b[n]=a[n+1]－3a[n]
とすると

b[n]=b[1]3^(n－1)
か
b[n+1]=b[1]3^n
となる

b[n+1]=b[1]3^n－1　は間違いで、正しくは
b[n+1]=b[1]3^n

No.2 回答者： metabolian 回答日時： 2024/04/14 23:26

a[n+1]－3a[n]=3(a[n]－3a[n－1]) …①

b[n+1]=a[n+1]－3a[n]
(bの添字=右辺の最初の項の添字)
とすれば、①は
b[n+1]=3b[n]=3^2b[n-1]=…=3^(n-1)b[2]
※右辺の
「3の冪乗の指数」+「その後ろのbの添字」=n+1になる

また、b[n]=a[n+1]－3a[n]
(bの添字=右辺の2番目の項の添字)
とすれば、①は
b[n]=3b[n-1]=3^2b[n-2]=…=3^(n-1)b[1]
※右辺の
「3の冪乗の指数」+「その後ろのbの添字」=nになる

これら2つの解釈がどこかでゴッチャになってる気がします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/14 23:13

＞a[n+1]－3a[n]=3^n－1(a[2]－3a[1])となっているのですが

a[n+1] - 3a[n] = 3^(n－1)･(a[2]－3a[1]) ですね？

＞b[n+1]=b[1]3^n－1としてますよね？

その「- 1」って何ですか？

b[n+1] = 3b[n] という漸化式であれば、
　b[n+1] = 3b[n] = 3^2･b[n-1] = 3^3･b[n-2] ･･･ = 3^k･b[n-(k-1)]
だから、k=n なら
　b[n+1] = 3^n･b[1]
だよ？