数2の問題について

答えを見るとx^2の係数が2や4になっているのですが、なぜなのかわかりません。
教えていただけると嬉しいです。
お願いいたします。

問題 二次方程式2x^2-x+4=0のふたつの解をα、βとする時次の二数を解とする二次方程式をひとつ求めよ

(1)α/2 β/2
(2)3α^2 3β^2

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/04/27 19:03

その方が「きれい」な形になるんじゃね? 知らんけど.

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/04/27 20:52

解と係数の関係から、そうなる様な問題だという事。

2x^2-x+4=0のふたつの解α、βでα+β=1/2、αβ=2

(1)
α/2+β/2=(α+β)/2=1/4 和が1/4だから
これを解とする方程式はx²-x/4+?=0と書ける。
両辺を4倍して改めて書くと、x²-x+??=0の形。

(2)
3α²+3β²=3((α+β)²-2αβ)=3(1/4-4)=3/4-12=-45/4
あとは(1)と同じ

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/04/27 21:41

(1)や(2)の条件を満たすような、貴方独自の二次方程式は求められた

と言う事でしょうか？
ならば、二次方程式を一つ求めよ、と言う事ですから
求めた二次方程式に(α/2)などを代入してみて、等式が成り立つか検算してみてください。
検算がOKなら、貴方の求めた二次方程式もまた、正解だと思います
模範解答は、方程式の一部が分数にならない、見た目が良い形になるように、
貴方の求めた二次方程式の両辺に何倍かしたものだと思われます

題意により、両辺に何倍かしたものもまた正解です
なぜなら、両辺に何倍かしたものもまた、解に(α/2)などを持つからです

(貴方の求めた二次方程式と模範解答の二次方程式を見比べてみて、どちらが見た目すっきりしていると思いますか？
センスまで見せつけたいなら、模範解答の二次方程式を最終的な答えとして書きたいところですね^⁠_⁠^)

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/29 15:13

例えば、 x = 3, 5 を解に持つ方程式として、

(x - 3)(x - 5) = 0 と
2(x - 3)(x - 5) = 0 と
4(x - 3)(x - 5) = 0 は同等のものです。
同等といっても式の字面は違うので、
これらの方程式どうしは「同値である」といいます。

あなたの求めた方程式が正しいかどうかは知りませんが、
「答えを見るとx^2の係数が2や4になっている」の方程式と
同値なものであれば、字面は違っても正解です。

問題文が「方程式をひとつ求めよ」としてある
この「ひとつ」には、そのことの含みがあるのです。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2024/05/04 00:07

ひどい問題文だなあ。

　　(x-α/2)(x-β/2)=0
　　(x-3α^2)(x-3β^2)=0
という答案が来たらどうすんだろ。出題者の意図をソンタクしなきゃならんのかいな。