漸化式で、隣接三項間の漸化式を特性方程式で解ける理由と方程式の解で1を含まれたら1でない解でだけ漸化

漸化式で、隣接三項間の漸化式を特性方程式で解ける理由と方程式の解で1を含まれたら1でない解でだけ漸化式を変形する理由を教えてほしいです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/04 18:48

その「隣接三項間の漸化式」ってのは、隣接三項間の線型漸化式って意味ですね？

隣接三項間の漸化式が特性方程式を使って解けるとは限らないし、
三項間でなくても、線型漸化式は特性方程式を使って解けます。

なんでその辺を理解せずに「特性方程式で解ける」とか言ってるんだろう？
解法が成り立つ根拠も説明せずに「こうやりゃ解ける」式で解法を暗記させる
ろくでもない受験参考書でも読んだのかな？

特性方程式による線型漸化式の解法ってのは、こうです。
∀n, (c_0)a[n] + (c_1)a[n-1] + (c_2)a[n-2] + ... + (c_m)a[n-m] = 0
という形の a[n] の漸化式 (各 c_k は定数) には、
a[n] = A λ^n (A, λ は定数) という形の解があります。

これは、なぜ何も、解を漸化式へ代入してみれば
漸化式 ⇔ (c_0)λ^n + (c_1)λ^(n-1) + (c_2)λ^(n-2) + ... + (c_m) = 0
となって、代数学の基本定理により、右側の方程式には解 λ が存在する
からです。この右側の代数方程式を漸化式の「特性方程式」といいますが、
特性方程式が重解を持たない場合には、m+1 項間線型漸化式に対する
m 次の特性方程式に対して m 個の解があります。　←[1]

一方、ひとつの線型漸化式の解 a[n] = p[n], q[n] に対して
解の線型結合 a[n] = A p[n] + B q[n] (A,B は定数) も
同じ漸化式の解になります。
これは、ある固定した線型漸化式の解全体がなす集合が
線型空間をなすことを意味します。　←[2]

m+1 項間漸化式の [2] の解空間は m 次線型空間になるので、
[1] の解が異なる m 個の λ を持てば、それが基底となって
全ての解は λ^n の線型結合で表されることになるのです。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2024/05/04 20:26

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/05/04 20:31

数学的な意味でいろいろ突っ込みポイントがあるという点については #1 が指摘しているところだけど, それはそれとして

「方程式の解で1を含まれたら1でない解でだけ漸化式を変形する」
とはどういうことだろうか. 日本語がおかしいうえになにをいっているのか理解できないので, 具体的な形を見せてもらえないかな.

なお「代数学の基本定理」ではない気がする＞#1.