命題がわかりません！！

命題「xy≦0ならばx≦0またはy≦0」の真偽の答えが真なのですが、納得がいきません。
対偶を考えれば納得いくのですが、命題のまま考えたとき、x≦0またはy≦0とは、x=y=-1の時も含むため成り立っていないのでは？と思います

なぜ真なのでしょうか。

質問者からの補足コメント

• なぜx≦0またはy≦0　(ただしx≦0かつy≦0を除く）ではないのでしょうか

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/05/19 17:35

No.9 回答者： sc348253 回答日時： 2024/05/20 11:37

命題で必要条件　十分条件　必要十分条件を習ったと思います。

貴方の疑問において
xy≦0　と　x≦0またはy≦0 が必要十分条件であるとおもっているからの
疑問ですが　はたしてそうでしょうか？
xy≦0　とは　x≦0　かつ　y≧0　または　y≦0 かつ　x≧0
であって　x≦0またはy≦0　ではありません　それは
xy≦0 において　貴方の言われているx=y=-1は正となって成り立たない
からです　つまり　xy≦0　と　x≦0またはy≦0 が必要十分条件ではないからです　ですから　逆の
x≦0またはy≦0 ならば　xy≦0　は成立しませんが
xy≦0　とは　x≦0　かつ　y≧0　または　y≦0 かつ　x≧0
ならば　必要十分条件なので　逆も成り立つわけです。
　命題は分かりにくいので再度復習しましょう！

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/19 20:48

xy≦0　となる　点(x,y)の集合　が図の赤の部分

x≦0またはy≦0 となる　点(x,y)の集合　が　図の赤と青を合わせた部分

xy≦0 ならば　

点(x,y)は

図の赤部分に含まれるから

図の赤と青を合わせた部分に含まれるから

x≦0またはy≦0 となる

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/19 19:58

一応書いておくと、x=y=-1は反例になってない。

xy≦0は偽
x≦0又はy≦0は真
よって
xy≦0→x≦0又はy≦0
は真

A→Bは(¬A)VB と同じものです。
あなたの反例はB→A (x≦0又はy≦0→xy≦0)用ですね。

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/05/19 19:15

そもそも

xy≦0ならば「x≦0またはy≦0　(ただしx≦0かつy≦0を除く）」
は成り立たないからねしょうがないね.

なお「x≦0またはy≦0とは、x=y=-1の時も含む」というのは正しいが, そのときに「xy≦0ならばx≦0またはy≦0」が成り立たないと思っているのだとしたらそれは勘違いである.

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2024/05/19 18:37

＞x≦0またはy≦0とは、x=y=-1の時も含むため・・・

含みません！！
「x≦0またはy≦0」の中に、当然「x≦0かつy≦0」の意味は 含まれません。
従って わざわざ (ただしx≦0かつy≦0を除く）は 意味がありません。
「a or b」 と 「a and b」 は 別の意味でしょ。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/19 18:33

ひょっとして「Ａならば(→)B」が真ならAとBは同値(A⇔B)だと思ってません?

x>3 ならば x>0
は常に真ですが
x>0ならばx>3 はx=1では偽です。

A→Bが真だから、B→Aとは限らない。「ならば」の基本の基本です。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/19 18:02

xy≦0

これを満たすような(x、y)の組は
(0、0)や
(-1、+1)
(√2、-√3)
…
などであり
これらの組をまとめてPとします
つまり、xy≦0を満たすような(x、y)の集合をPとする

同様に
x≦0またはy≦0を満たすような
(x、y)の
集合をQとする
こうしたとき、
「Pに属するような(x、y)であれば
その(x、y)は必ずQにも属している
ならばP→Qは真ですし
Pに属しているもののうち、ひとつでもQからはみ出すものがあれば
P→Qは偽」
ということになります

本問では、x-y平面にPの領域とQの領域を図示してみれば、Pに属する(x、y)はQからはみ出していないとわかるので、P→Qは真です

反例として貴方が挙げようとしてる
(-1、-1)は、
Pに属していないので
先に、「　」で説明したPに属しているもののうちQからはみ出しているものがあれば偽
という内容からバズれています
これでは判例になっていないのです

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/05/19 17:40

x≦0またはy≦0　では「ただしx≦0かつy≦0を除く」なんて言ってない。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/05/19 17:33

xy≦0 → x≦0またはy≦0

と言ってるだけで
x≦0またはy≦0 → xy≦0　(偽)
とは言ってない。