人知vs人工知 [0.999…]の場合

以前、ガウス記号を用いた[0.999…]が１か０か？について、疑問を投稿したことがありました。
回答では１とする意見が多数派だったのです。根拠としては、（自分なりの解釈では）、0.999…→１であり、ガウス記号は、この→の右側、即ち１にかかるものだから、答えは１だということのようでした。しかし、これが数学界において一般的な了解事項なのか？という疑問がしつこく付きまとっていたのです。そこで、改めて、ある対話型AIに質問してみました。すると、答えは「０」でした。根拠も示してくれて、確かに、0.999…は限りなく１に近づくが、[X]は、Xを超えない整数値を返すものだから、０となるということでした。つまり、→の左側、0.999…の１に(どこまでも近付くが)到達はしないという部分にガウス記号がかかるという判断らしいです。しかし、限りなく１に近づくというところの解釈があいまいな気がして、後日また質問してみたのです。すると、今度は「１」という答えでした。0.999…の無限級数としての各項は１に到達しないとしても、全体として１になっているからということのようでした。
いったい、どっちなんだ？と混乱して、さらに問い詰め（対話を続け）ると、結局、場合によって、１であったり０であったりするということに落ち着きました。
ただ、例えば、試験でこの値を何の条件も付けず、問題の文脈もなく問われたときは、１としておくほうが無難だということです。しかし、１と定まっているわけでもなく、計算機科学などで精度をどうするかが問題になるときは、敢えて０とする場合もあり得るという答えでした。
果たして、このAIの答えは信用してよいものでしょうか？一見、至極妥当な回答のように思えるのですが、実際のところ、どうなのか？
ここからは長い余談になるので、読んでやってもいいという方はお読みください。
最近、対話型AIや生成AIの利用が盛んで、一部、当然のようになっています。その正答率も高く、間違うのはごくたまにということのようです。しかし、今回のように、一旦であっても、人の回答とAIの回答が違っていて、どちらも正しく思えるときは、どうすればよいのか？という疑問が出てくるのです。
AIは大量のデータやケースを学習して、それをもとに判断している（具体的にどんな判断というか情報処理をしているのか、よくわかっていないらしいのですが）から、AIの回答は質問している分野において、もっとも一般的な意見というか論理を持ってなされている。だから、AIの答えを採用したほうが正答の確率は高い、という考えもあるかもしれませんが、その考えが主流になると、何か疑問があるたびにAIに質問して、答えが得られたら、それで終わりとなってしまいかねない。それが極度に進んでしまうと、人は考えるのを事実上放棄しかねないのではないか？という危惧があるのです。そして、その危惧が最も早く実現する恐れがあるのが数学ではないか、と考えるのです。AIが間違えることが多いのは、人の常識やモラル、価値観といった要素が大きなウェイトを占める事柄でしょう。例えば、おいしいピザを作りたいが、乗せる具材が動きにくくするにはどうすればよいか？という質問に対して、接着剤を使いなさい、という回答がされればはっきり、おかしいと分かるわけです。しかし、数学はおおむね、人の常識といった曖昧な要素を他のどの分野に比べても持たないものでしょう。０とは言いませんが。だから、AIの正答率も99.999…％になるのが、最も早いと予想できる。すると、何か数学上の疑問が生じても、即AIに質問して答えがすぐに得られ、それで終わりになってしまいかねない。そんな状態はあまり好ましいとは言えない。やはり、人同士の対話や討論は絶対的に必要だと思うからです。しかし、この危惧が実現する可能性が最も高いのが数学ではないか、と考えるために、このようなことを数学のカテゴリー内で提示した次第です。念のために言っておきますが、AIを否定するつもりは毛頭ありません。この投稿も、コンピュータの能力で行っているわけだし、AIも計算機科学もなくなってしまえば、科学の進歩は事実上止まってしまうでしょう。一方で、AIが数学の新定理の発見や証明まで行えるようになり、人がその成果をただ受け止めるだけになるという事態もはっきり言って、良くない。よく言われることですが、人とAIがともにWINWINの関係になれるようにもっていきたいものです。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/03 16:44

大嘘書いてしまった

>lim[n は正の整数, n→∞]Σ[i=1→n]9^(-n) なら 1 です。
lim[n は正の整数, n→∞]Σ[i=1→n]9×10^(-n) なら 1 です。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/03 09:30

0.9999・・・・ をどう定義するか決める必要があります。

定義が曖昧なら何も答えは得られません。

lim[n は正の整数, n→∞]Σ[i=1→n]9^(-n) なら 1 です。

n を途中で打ち切ると 1 未満ですが、そんな中途半端な
ところで比べても比べたことにならないので、
考えるだけ無駄だと思います。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/02 18:43

「生成AI」という変な言葉があるが、

chatGPT は回答の「文章を」生成するんであって、
回答の内容はネットから収集して要約するだけ。
AI とはいっても、Interigence の程度は
google search とさして変わらんし、
答えそのものを生成してるわけじゃあない。
ネット上に間違った答えが普及していれば、
それを収集して間違った回答を表示する。

0.999... という表記は、通常
∑{n=1→∞} 9(0.1)^n を表すものとして知られている。
他に 0.999... の解釈があるのだろうか？

∑{n=1→∞} 9(0.1)^n = 0.9/(1 - 0.1) = 1 なので、
0.999... = ∑{n=1→∞} 9(0.1)^n であれば
[ 0.999... ] = [ ∑{n=1→∞} 9(0.1)^n ] = [ 1 ] = 1
となる以外はない。

質問文にある「0.999... < 1 だから～」という説明には
0.999... < 1 が成り立つような
0.999... という表記の新しい解釈が必要だが、
そのような標準的でない表記を使うのなら、
どのような表記法を使ったのかを
明記してからでないと意味がない。

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/06/02 15:45

0.999…は人間の指がたまたま10本で有って10進数を使って表現するから9の素因数3と10の素因数2･5が素で有る事によるだけです。

数学では0.999…は厳密に1です。
0.999…は1つの数を表すのだから1です。
限りなく何かに近付くのは関数とか級数の話です。

小数点の横に無限9を書いていく「過程」を表していると受け止めてしまうと、=1に違和感を感じる人が多いのでしょう。
0.9 + 0.1 = 1
0.99 + 0.01 = 1
0.999 + 0.001 = 1
0.9999 + 0.0001 = 1
…
0.99999… + 0.00000… = 1

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/06/02 14:24

冒頭に

以前、ガウス記号を用いた[0.999…]が１か０か？について、疑問を投稿したことがありました。
って書いてあるけど, 結論的には
そもそも [0.999…] とはどういう意味なのか
で終わらなかったっけ?

つまり [0.999…] があいまいである, と.