α=cos36°+ isin36°のとき、次の値を求めよ。

・1+α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6+α^7+α^8+α^9

・1*α*α^2*α^3*α^4*α^5*α^6*α^7*α^8*α^9


cos36°=(1+√5)/4
sin36°={√(10+2√5)}/4


までわかってるのですが、
そのあとの計算はどうしたらいいんですか?
自力で計算しかないんですかね?
自力で計算してたら時間がすごくかかってしまいませんか?

A 回答 (3件)

> α=cos36°+ isin36°のとき、次の値を求めよ。



この問題は、「同じ角度のcosとsinから成る複素数」というのがキーにっている問題であることは理解されていますか?

これは典型的な、「三角関数の複素数」を「指数が複素数である指数関数」で表現する、ということを利用する問題です。すなわち、

  cosA + i・sinA = e^iA(eのiA乗のつもり)

です。だから、問題は

> ・1+α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6+α^7+α^8+α^9
> ・1*α*α^2*α^3*α^4*α^5*α^6*α^7*α^8*α^9

を普通に等比級数の和・積として解くだけなのです。

さあ、やってみましょう!!
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一番目はNo.1さんのヒントとド・モアブルの定理を併用。


α^10=1ですよ。
2番目はα^45=α^5
ここでド・モアブルの定理。
36度の三角比なぞここでは不必要です。
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ヒント


(x^10 - 1)/(x-1)はいくら?
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QX5乗-1=0 の因数分解の仕方は?

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どなたか教えて下さいお願いします。

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(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
を解けばよいわけですね。
x=1が解の一つであることはすぐ分かりますね。
あとは
x^4+x^3+x^2+x+1=0
を解けばよいわけですが、少し工夫が必要です。
まずx=0は解ではありませんから、両辺をx^2で割ることができます。
x^2+x+1+x^(-1)+x^(-2)=0  ・・・(1)
となります。
ここで、
t=x+x^(-1)  ・・・(2)
とおくと、
x^2+x^(-2)=t^2-2
ですから、(1)は
(t^2-2)+t+1=0 すなわち、
t^2+t-1=0
と書き直すことができます。
二次方程式ですからすぐ解けますね。
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あまりすっきりした形にならないので計算は少々大変ですが、
頑張って下さい。

Qcos18°の求め方

三角関数表を使わずにcos18°の求め方がわかりません。

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sin(2*18°) = sin36°= sin(90°-54°) = cos(54°) = cos(3*18°)
sinの二倍角の公式 sin2θ = 2sinθ*cosθ
cosの三倍角の公式 cos3θ = 4*(cosθ)^3-3cosθ
より
2sin18°*cos18° = 4*(cos18°)^3-3cos18°
両辺をcos18°で割ると
2sin18°= 4*(cos18°)^2-3
(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1より
2sin18°= 4*(1-(sin18°)^2)-3
= 4-4(sin18°)^2-3
= 1-4(sin18°)^2
4(sin18°)^2+2sin18°-1 = 0
二次方程式解の公式より
sin18° = (-1±√5)/4
sin18°> 0より
sin18° = (-1+√5)/4
(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1より
(cos18°)^2 = 1-((-1+√5)/4)^2
= 1-((1-2√5+5)/16)
= 1-((6-2√5)/16)
= 1-((3-√5)/8)
= (8-3+√5)/8
= (5+√5)/8
cos18°= √((5+√5)/8)
= √(10+2√5)/4

もしかしたら五倍角の公式
sin5θ = 16(sinθ)^5-20(sinθ)^3+5sinθ
cos5θ = 16(cosθ)^5-20(cosθ)^3+5cosθ
とか使ってもっとスマートに解けるのかも知れません。

sin(2*18°) = sin36°= sin(90°-54°) = cos(54°) = cos(3*18°)
sinの二倍角の公式 sin2θ = 2sinθ*cosθ
cosの三倍角の公式 cos3θ = 4*(cosθ)^3-3cosθ
より
2sin18°*cos18° = 4*(cos18°)^3-3cos18°
両辺をcos18°で割ると
2sin18°= 4*(cos18°)^2-3
(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1より
2sin18°= 4*(1-(sin18°)^2)-3
= 4-4(sin18°)^2-3
= 1-4(sin18°)^2
4(sin18°)^2+2sin18°-1 = 0
二次方程式解の公式より
sin18° = (-1±√5)/4
sin18°> 0より
sin18° = (-1+√5)/4
(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1より
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Qxの5乗=1 の答えを教えてください!

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Aベストアンサー

------------------------------------------
解)1の虚5乗根をの1つをωとすると
ω、ω^2、ω^3、ω^4、ω^5=1
が答えになる。
[答え]1、ω、ω^2、ω^3、ω^4
    ただし、ωは1の虚5乗根の1つたとえば、ω=cos(2π/5)+i sin(2π/5)
------------------------------------------

------------------------------------------
別解)
x^5=1
x^5-1=0
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
ゆえに、(x-1)=0,or,(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
x-1=0のとき、x=1

x^4+x^3+x^2+x+1=0のとき、x^4+x^3+x^2+x+1=0のとき、
両辺をx^2でわると、
x^2+x+1/x+1/x+1/x^2=0、
(x^2)+(1/x^2)+(x)+(1/x)=0、
ここで
(x) +(1/x)=tとおくと、
(x^2) + (1/x^2) =(t^2)-2
与式=(t^2)-2+t=0
(t-2)(t+1)=0
t=2、or,t=-1
すなわち、(x) +(1/x)=2、or,-1
つまり、
(x^2)+1=2x、
or,(x^2)+1=-2x
となる。
以下、2つの2次方程式はそれぞれ2虚解が出るから全部で、
4虚解が出る。(解の公式で導ける)
以上で、1実数解x=1 と4虚解の合計5つの解がもとまる。

------------------------------------------
解)1の虚5乗根をの1つをωとすると
ω、ω^2、ω^3、ω^4、ω^5=1
が答えになる。
[答え]1、ω、ω^2、ω^3、ω^4
    ただし、ωは1の虚5乗根の1つたとえば、ω=cos(2π/5)+i sin(2π/5)
------------------------------------------

------------------------------------------
別解)
x^5=1
x^5-1=0
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
ゆえに、(x-1)=0,or,(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
x-1=0のとき、x=1

x^4+x^3+...続きを読む

Q計算過程を教えて下さい。

sin54°の求め方を教えて下さい!
できれば,三角形などの図を利用したやり方で。。

Aベストアンサー

sin54°=sin(90°-36°)=cos36°
ですからcos36°の値を求めればよい。
#2の方がおっしゃっているように、cos36°を求めるには、
まず、角が36°、72°、72°の二等辺三角形を書きます。
この三角形を△ABCとしましょう。
そして、∠A=36°、∠B=∠C=72°とします。
次に∠Bの角の二等分線をひき、これと辺ACとの交点をDとします。
このとき△BCDは∠B=36°、∠C=∠D=72°となるので
△ABC∽△BCDがいえます。
いま、BC=1とおくとBD=1(なぜなら△BCDはBC=BDの二等辺三角形)、
またAD=1(なぜなら△ADBは∠BAD=∠DBA=36°より、DA=DBの二等辺三角形)
もいえます。
次にBから辺CDに垂線を下ろし、その足をEとすると、
CE=ED=BCcos72°=cos72°(なぜならBC=1)
△ABC∽△BCDより、
AC:BC=BC:CD
AC=AD+CD、CD=2cos72°よりAC=1+2cos72°、CD=2cos72°
上の比の関係を使えば
(1+2cos72°)×2cos72°=1
cos72°=tとおくと、tは二次方程式
4t^2+2t-1=0の正の解になります(0°<θ<90°ではcosθ>0)。
解くと、cos72°=(√5-1)/4
倍角公式cos2x=2(cosx)^2-1より
cos36°=√{(cos72°+1)/2}=√{(√5+3)/8}
    =√{(6+2√5)/16}
    ={√(6+2√5)}/4
    =(√5+1)/4

sin54°=sin(90°-36°)=cos36°
ですからcos36°の値を求めればよい。
#2の方がおっしゃっているように、cos36°を求めるには、
まず、角が36°、72°、72°の二等辺三角形を書きます。
この三角形を△ABCとしましょう。
そして、∠A=36°、∠B=∠C=72°とします。
次に∠Bの角の二等分線をひき、これと辺ACとの交点をDとします。
このとき△BCDは∠B=36°、∠C=∠D=72°となるので
△ABC∽△BCDがいえます。
いま、BC=1とおくとBD=1(なぜなら△BCDはBC=BDの二等辺三角形)、
またAD=1(なぜなら△ADBは∠BAD=∠DBA=36°よ...続きを読む

Q平均分子量

平均分子量についてイマイチわかりません。高校生レベルで教えてください。

Aベストアンサー

>以下の内容は.高等学校で教えているのでしょうか。
>モル凝固点降下.モル沸点上昇.(気体の)分圧.浸透圧
これは高校化学で教えています。

みなさんの言うとおり、分子量×割合(分圧)で計算します。
平均分子量は見かけの分子量をあらわすので、その名のとおり、平均値です。
空気の場合は、窒素(分子量28)が78%、酸素(分子量32)が22%とするとこのとおり。
28×0.78 + 32×0.22 = 28.88(平均分子量)

Q半径1の円に内接する正五角形の一辺の求め方

タイトル通り、
「半径1の円に内接する正五角形の一辺の求め方」を教えてください。
正十角形の一辺の求め方がヒントのようです。
よろしくお願いします。

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tokumei7さんは中学生ですよね?(高校生ならこの問題の解法で正十角形の一辺の求め方を考えようとしませんから)

さて、正十角形の一辺はわかりましたか?これは実はかなり綺麗に求めることができます。(こっちのほうがよっぽどいい問題)

ということで解法を。その前に、正五角形の一辺と対角線の長さの関係が1:(1+√5)/2であることは大丈夫ですか?(相似で出せます)

五角形をABCDEとし、その一辺を2aとする。(あとで辺の中点を考えますので2aとおいてます)
円の中心をOとし、ACとOBの交点をM, AOを延長し、CDおよび円周との交点をそれぞれN, A'とする。(CA'が正十角形の一辺です)

AB=2aよりAC=2a*(1+ √5)/2=(1+ √5)a, AM=AC/2=((1+ √5)/2)a
△ABM∽△OCNとOC=1よりON=(1+ √5)/4、よってNA'=1-ON=(3-√5)/4
△OAM∽△A'CNとCN=CD/2=aより、CA'=2/(1+ √5)=(√5-1)/2(この有理化は高校範囲ですが、この問題を解く中学生なら知ってて当然。)
これが正十角形の一辺となります。

ところで、正五角形の一辺だと、あとの相似はいらなくて、あとは△OCNで三平方の定理を用いればaの値は求められますから、それで終わりです。。。
ここで、この答えは、いわゆる2重根号がはずれません。これについてはどうしようもなさそうです。

#もし三角関数がおわかりなら、答えは2sin36度で、cos36度については2倍角と3倍角の公式を使えば、(1+ √5)/4になります。本質的に上の解答と同じものを求めていることになりますが・・・

##もし対角線の出し方を知らない場合は、ACとBEの交点をPとして、△PAB ∽△BACかつCP=CBより求められます。

tokumei7さんは中学生ですよね?(高校生ならこの問題の解法で正十角形の一辺の求め方を考えようとしませんから)

さて、正十角形の一辺はわかりましたか?これは実はかなり綺麗に求めることができます。(こっちのほうがよっぽどいい問題)

ということで解法を。その前に、正五角形の一辺と対角線の長さの関係が1:(1+√5)/2であることは大丈夫ですか?(相似で出せます)

五角形をABCDEとし、その一辺を2aとする。(あとで辺の中点を考えますので2aとおいてます)
円の中心をOとし、ACとOBの交点をM, AO...続きを読む

Qlog2の5は?

log2の5は小数になおすといくらでしょうか??(底が2です)
また、どのようにして計算しましたか??

Aベストアンサー

こんばんは。
また、計算まちがえています。
log_10(2)=0.3010だから1-log_10(2)=1-0.3010=0.6990なので 
log_2(5)=({1-log_10(2)_/{log_10(2)}=0.6990/0.3010
=2.322259くらいか。関数電卓でlog_10(2)を求めて
({1-log_10(2)_/{log_10(2)}を計算すると、
2.32192809489と出ました。私のANo.7の回答で、

>2^(2+1/3)=4×2^(1/4)×2^(1/16)×2^(1/16)×...
ところが、4×2^(1/4)×2^(1/16)×2^(1/16)
=4×2^(1/4)×2^(1/16)×2^(1/16)
=4×√√2×√√√√2×√√√√√√2
≒4×1.2553803=5.0215212となる。

のところを、

2^(2+1/3)=4×2^(1/4)×2^(1/16)×2^(1/16)×...を
4×2^(1/4)×2^(1/16)で切り捨てる、つまり
2^(2+1/4+1/16)=4×√√2×√√√√2
として 
2^(2.3125)=≒4×1.189207×1.04427=4.96741<5となり、
2.3125<log_2(5)と分かる
これから2.3125<log_2(5)<2.3333とでてくる。

◎昔、電卓で2^(1/3)を計算したことがありましたが
そのときは 
1/3={1/4/(1-1/4)}=1/4+1/16+1/64+.. を
使わずに、掛け算だけの計算で近似値を小数第4位くらいまで
求めたことがあります。
「あと、電卓でおもしろいのは。0以外のかってな数を置数して、
√キーを何回でも押しつづけると、どうなるか?」
簡単ですけど不思議に思ってくれる人もいる。
「実際に何乗根なども電卓だけで計算してみると、
ホーと言ってくれる方もいる。」

こんばんは。
また、計算まちがえています。
log_10(2)=0.3010だから1-log_10(2)=1-0.3010=0.6990なので 
log_2(5)=({1-log_10(2)_/{log_10(2)}=0.6990/0.3010
=2.322259くらいか。関数電卓でlog_10(2)を求めて
({1-log_10(2)_/{log_10(2)}を計算すると、
2.32192809489と出ました。私のANo.7の回答で、

>2^(2+1/3)=4×2^(1/4)×2^(1/16)×2^(1/16)×...
ところが、4×2^(1/4)×2^(1/16)×2^(1/16)
=4×2^(1/4)×2^(1/16)×2^(1/16)
=4×√√2×√√√√2×√√√√√√2
≒4×1.2553803=5.0215212となる。

のところを、
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