限界代替率MRSの導き方

例えばz=定数な場合は双曲線になるz=x*yにて、zをxで偏微分したものをz_xと表現すると
z_x/z_yはy/xになる
これにマイナスをかけて
-y/x
をしたものは、その双曲線の接線の傾きを表す。
例えばz=1なら(x,y)=(1,1)は双曲線1=x*yを満たす。
そしてy/x=1/1=1でマイナスを掛けると-1。これはその場所での接線の傾き。
確かにそうなっているし、一般z=f(x,y)で任意の場所でも成立するらしい。
経済学で使われる限界代替率MRSで出てくる話で、その数学的な理屈の説明はない。

説明がないということは、これは常識なのだろうか。
数学的に説明できるの？

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/09 10:07

No.4 です。

まだ解決していない？

#4 や #2さんが使った「全微分」というものに慣れていないのであれば、#5 さんの「合成関数の微分」を使って
　z = U(x, y)
に対して、これを x で微分したものは（つまり「x の変化に対する z の変化量」）
　dz/dx = (∂U/∂x)(dx/dx) + (∂U/∂y)(dy/dx)　　　①
と書けて、当然
　dx/dx = 1
なので、①は
　dz/dx = ∂U/∂x + (∂U/∂y)(dy/dx)　　　　②
ということになります。

ここで
　z = const（定数）　　　　③
という特別な場合には
　dz/dx = 0　（x が変化しても z は変化しない）
なので、②は
　0 = ∂U/∂x + (∂U/∂y)(dy/dx)
となり
　(∂U/∂y)(dy/dx) = -∂U/∂x
よって
　dy/dx = -(∂U/∂x)/(∂U/∂y)　　　④

これなら、「高校数学 + 偏微分」の知識があれば十分納得できると思いますが？
あくまで
② はすべての z=U(x. y) について成り立つ
④ は z が③の条件のときに成り立つ
ということです。

質問に書かれた
　z = x･y = const（x と y は反比例）
というのは、③を満たす関数の一例として挙げてあるのでしょうね。

蛇足ながら、「経済学」は欧米ではれっきとした「理系」の学問です。
微積分、確率・統計は必須なので、その範囲は「大学受験の理系数学 + 大学数学」の範囲を学んで「ツールとして」使えるようになっておく必要があります。（「数学を極める」必要はなく、あくまで「ツール」として使えればよいです）

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/07 12:45

＞ つまり、任意のUに対して

＞ （∂U/∂x）／（∂U/∂ｙ）= ーdy/dx
＞ が成立する理屈を知りたいです。
＞ そう書いたつもりですが。

なんだかわけからかなった質問の趣旨が
補足で説明されたところで、
本来の質問に回答してみます。

その式変形は、合成関数の微分公式に由来します。
偏微分が登場しますから、高校数学の範囲は超えますが、
大学１年級の解析学としては、ほんの序の口の話です。

2変数関数 U(x,y) によって U(x,y) = (定数) の関係にある
x, y の間の dy/dx は、上式を x で(常)微分して得られる
(∂U/∂x)(dx/dx) + (∂U/∂y)(dy/dx) = 0 から
dy/dx = ー（∂U/∂x）/（∂U/∂ｙ） です。
ただ、それだけの話です。

左辺の微分に必要な知識は、多変数関数のチェインルール
dF/dx = (∂F/∂v)・(dv.dx)　；ただし、vはベクトル変数、・は内積
だけです。参考↓
https://mathlandscape.com/partial-derivative-com …

題材が経済学なので、ひょとしたら、あなたは文系なのかもしれませんが、
微分を使って何かしたいのなら、最低限の初歩的な解析学を
勉強することは避けられません。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/07 11:19

No.1 です。

「お礼」に書かれたことを読みました。

＞私が使っている書籍では
＞MRS=ーdy/dx
＞MUｘはUをｘで偏微分したもの
＞MUｙはUをｙで偏微分したもの
＞公式　MRS=ーdy/dx=MUx/MUｙ

だったら、質問文にそう書かないと。
あなたの質問では
　z = xy
であり、「U」などというものは登場しません。

「z = xy」ではなく、「z = U(x, y)」という2変数関数全般のことを言っているんですね？

だとすると、z は定数ではないので、「全微分」は
　dz = (∂U/∂x)dx + (∂U/∂y)dy
とかけます。

たまたま「z が定数」のときには、
　dz = 0
ですから
　(∂U/∂x)dx + (∂U/∂y)dy = 0
つまり
　(∂U/∂x)dx = -(∂U/∂y)dy
になります。
これを
　dy/dx
という形にすれば
　dy/dx = -(∂U/∂x)/(∂U/∂y)
になります。
これは
　z = U(x, y) = 定数　　　　　①
のすべての U(x, y) に対して成り立ちます。

従って、
　RMS = -dy/dx
という定義であれば、①で表わされる関数 U(x, y) に対しては
　RMS = (∂U/∂x)/(∂U/∂y)
と表せることになります。
あくまで①の形で表わされる関数 U(x, y) ということであって、任意の関数 f(x, y) について成り立つわけではありません。

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2024/07/07 10:50

No2ですが、あなたがNo1さんへのお礼を書く前に書いているので、No2を書いたときにあなたのNo1さんへのお礼・コメントは読んで

いませんが、その中での疑問（の一部）にNo1は答えていませんか？

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2024/07/07 06:50

経済学で用いる限界代替率というのは、たとえば

z = f(x,y)　　　　　　　　　　　　　　　　(1)
という関数を考えましょう。具体的には、ｘは財Ｘの消費量（需要量）、yは財Ｙの消費量、ｚはこのときの効用（財Ｘをｘだけ、財Ｙをｙだけ消費したときに得る効用）とする。いま、この状態から出発し、Ｘを微小量Δxだけ増やしたとすれば、効用を元の値にとどめておくためにはＹをいくら減らしたらよいか、そのＹの減らす量をΔyと書くと、限界代替率MRSとは
MRS=-Δy/Δx
のことです。変化量は微少量なので全微分記号を用いて表すなら、(1)式を全微分すると
dz = （∂f/∂x)dx + （∂f/∂yｚ)dy
を得る。zの水準は元の水準におくので、dz=0とおくと、
0 = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
変形すると
-dy/dx =(∂f/∂x)/(∂f/∂y)
よって
MRS = (∂f/∂x)/(∂f/∂y)　　　　　　　　　　(2)
となる。これが経済学でつかわれる限界代替率の概念です。何を表しているかというと、関数(1)についてzの値をある一定水準に固定したとき、ｘを横軸にｙを縦軸に取るなら、ｙはxの関数として、x-y平面上に（たとえば）右下がりの曲線としてあらわすことができる。限界代替率(2)はその曲線の傾き（の絶対値）を表していることになる。
例に挙げられているように関数(1)が
z =f(x,y)＝ xy
ならば、
∂f/∂x=y
∂f/∂y=x
より(2)は
MRS=y/x=z/x^2
右辺はｘのみの関数としてあらわしたときの値。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/06 23:19

z = x*y の「*」とは何でしょうか？

単なる「かけ算」の意味ですか？

そうであれば
　z_x = ∂z/∂x = y
　z_y = ∂z/∂y = x
ですから、
　z_x / z_y = y/x
になります。

それは
　z = x･y
だからそうなることであって、たとえば
　z = x･y^2
だったら
　z_x = ∂z/∂x = y^2
　z_y = ∂z/∂y = 2x･y
ですから、
　z_x / z_y = y^2 /(2x･y) = y/(2x)
になります。

＞これにマイナスをかけて
＞-y/x
＞をしたものは、その双曲線の接線の傾きを表す。

双曲線を
　y = z/x
という「xy 平面」のグラフとすれば（z は定数）、その導関数は
　dy/dx = -z/x^2
ですから、x=a における接線の傾きは
　-z/(a^2)
になります。
x が大きくなれば接線の傾きは「ねて来る = 水平に近くなる」、x → +0 になれば接線の傾きは「立って来る = 上下に近くなる」ことになります。
その傾きは「z の値」によって変わります。

x=1 のときの傾きは
　-z/(1^2) = -z　　　　①
です。
そもそも「 (1, 1) を通る」といっている段階で、z=1 に確定していますから、①は「-1」になります。

質問者さんは、なんか数学のことは何も分からずに、全くの誤解をしているみたいですね。（「理解していない」のではなく「誤解している」状態です）
「経済学で使われる限界代替率MRS」には全く関係なく、高校数学をきちんと復習した方がよいです。

この回答へのお礼

私が使っている書籍では
MRS=ーdy/dx
MUｘはUをｘで偏微分したもの
MUｙはUをｙで偏微分したもの
公式　MRS=ーdy/dx=MUx/MUｙ

このーdy/dx=MUx/MUｙの部分に対して背景の説明がありません。書籍記載の問題を使うと確かにそうなる。

つまり、任意のUに対して
（∂U/∂x）／（∂U/∂ｙ）= ーdy/dx
が成立する理屈を知りたいです。
そう書いたつもりですが。

具体的にU =x*yと与えられていたら公式を使ってMRSを求めるのは、そりゃできるでしょ。そうでなければミクロ経済学の本を読もうとは思いませんよ。
なお、Uは原点に対して単調凸条件があります。その公式が成立するのはその条件下、とかの記述はありません。
経済学で扱う関数だから特異点とかありません。たぶん。この公式は書籍の最初の方で出てくるので、先に進んだらそれが使えない場面が出てくるかもしれない。

単に記号の操作で
（∂z/∂x）／（∂z/∂ｙ）
∂zで割って
（１/∂x）／（１/∂ｙ）
もちろん、そんなことはしてはならないのは知っている。簡略化して
∂ｙ／∂x
変数が２つしかないのだから∂をｄにして
ｄｙ／ｄx
数学者からは怒られるでしょうけど。

この操作が正しければ
（∂z/∂x）／（∂z/∂ｙ）= 　+dy/dx
になりますよね。
公式では右辺はマイナスになっています。

お礼日時：2024/07/07 07:08