![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
例えばz=定数な場合は双曲線になるz=x*yにて、zをxで偏微分したものをz_xと表現すると
z_x/z_yはy/xになる
これにマイナスをかけて
-y/x
をしたものは、その双曲線の接線の傾きを表す。
例えばz=1なら(x,y)=(1,1)は双曲線1=x*yを満たす。
そしてy/x=1/1=1でマイナスを掛けると-1。これはその場所での接線の傾き。
確かにそうなっているし、一般z=f(x,y)で任意の場所でも成立するらしい。
経済学で使われる限界代替率MRSで出てくる話で、その数学的な理屈の説明はない。
説明がないということは、これは常識なのだろうか。
数学的に説明できるの?
A 回答 (6件)
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No.6
- 回答日時:
No.4 です。
まだ解決していない?
#4 や #2さんが使った「全微分」というものに慣れていないのであれば、#5 さんの「合成関数の微分」を使って
z = U(x, y)
に対して、これを x で微分したものは(つまり「x の変化に対する z の変化量」)
dz/dx = (∂U/∂x)(dx/dx) + (∂U/∂y)(dy/dx) ①
と書けて、当然
dx/dx = 1
なので、①は
dz/dx = ∂U/∂x + (∂U/∂y)(dy/dx) ②
ということになります。
ここで
z = const(定数) ③
という特別な場合には
dz/dx = 0 (x が変化しても z は変化しない)
なので、②は
0 = ∂U/∂x + (∂U/∂y)(dy/dx)
となり
(∂U/∂y)(dy/dx) = -∂U/∂x
よって
dy/dx = -(∂U/∂x)/(∂U/∂y) ④
これなら、「高校数学 + 偏微分」の知識があれば十分納得できると思いますが?
あくまで
② はすべての z=U(x. y) について成り立つ
④ は z が③の条件のときに成り立つ
ということです。
質問に書かれた
z = x・y = const(x と y は反比例)
というのは、③を満たす関数の一例として挙げてあるのでしょうね。
蛇足ながら、「経済学」は欧米ではれっきとした「理系」の学問です。
微積分、確率・統計は必須なので、その範囲は「大学受験の理系数学 + 大学数学」の範囲を学んで「ツールとして」使えるようになっておく必要があります。(「数学を極める」必要はなく、あくまで「ツール」として使えればよいです)
No.5
- 回答日時:
> つまり、任意のUに対して
> (∂U/∂x)/(∂U/∂y)= ーdy/dx
> が成立する理屈を知りたいです。
> そう書いたつもりですが。
なんだかわけからかなった質問の趣旨が
補足で説明されたところで、
本来の質問に回答してみます。
その式変形は、合成関数の微分公式に由来します。
偏微分が登場しますから、高校数学の範囲は超えますが、
大学1年級の解析学としては、ほんの序の口の話です。
2変数関数 U(x,y) によって U(x,y) = (定数) の関係にある
x, y の間の dy/dx は、上式を x で(常)微分して得られる
(∂U/∂x)(dx/dx) + (∂U/∂y)(dy/dx) = 0 から
dy/dx = ー(∂U/∂x)/(∂U/∂y) です。
ただ、それだけの話です。
左辺の微分に必要な知識は、多変数関数のチェインルール
dF/dx = (∂F/∂v)・(dv.dx) ;ただし、vはベクトル変数、・は内積
だけです。参考↓
https://mathlandscape.com/partial-derivative-com …
題材が経済学なので、ひょとしたら、あなたは文系なのかもしれませんが、
微分を使って何かしたいのなら、最低限の初歩的な解析学を
勉強することは避けられません。
No.4
- 回答日時:
No.1 です。
「お礼」に書かれたことを読みました。>私が使っている書籍では
>MRS=ーdy/dx
>MUxはUをxで偏微分したもの
>MUyはUをyで偏微分したもの
>公式 MRS=ーdy/dx=MUx/MUy
だったら、質問文にそう書かないと。
あなたの質問では
z = xy
であり、「U」などというものは登場しません。
「z = xy」ではなく、「z = U(x, y)」という2変数関数全般のことを言っているんですね?
だとすると、z は定数ではないので、「全微分」は
dz = (∂U/∂x)dx + (∂U/∂y)dy
とかけます。
たまたま「z が定数」のときには、
dz = 0
ですから
(∂U/∂x)dx + (∂U/∂y)dy = 0
つまり
(∂U/∂x)dx = -(∂U/∂y)dy
になります。
これを
dy/dx
という形にすれば
dy/dx = -(∂U/∂x)/(∂U/∂y)
になります。
これは
z = U(x, y) = 定数 ①
のすべての U(x, y) に対して成り立ちます。
従って、
RMS = -dy/dx
という定義であれば、①で表わされる関数 U(x, y) に対しては
RMS = (∂U/∂x)/(∂U/∂y)
と表せることになります。
あくまで①の形で表わされる関数 U(x, y) ということであって、任意の関数 f(x, y) について成り立つわけではありません。
No.3
- 回答日時:
No2ですが、あなたがNo1さんへのお礼を書く前に書いているので、No2を書いたときにあなたのNo1さんへのお礼・コメントは読んで
いませんが、その中での疑問(の一部)にNo1は答えていませんか?No.2
- 回答日時:
経済学で用いる限界代替率というのは、たとえば
z = f(x,y) (1)
という関数を考えましょう。具体的には、xは財Xの消費量(需要量)、yは財Yの消費量、zはこのときの効用(財Xをxだけ、財Yをyだけ消費したときに得る効用)とする。いま、この状態から出発し、Xを微小量Δxだけ増やしたとすれば、効用を元の値にとどめておくためにはYをいくら減らしたらよいか、そのYの減らす量をΔyと書くと、限界代替率MRSとは
MRS=-Δy/Δx
のことです。変化量は微少量なので全微分記号を用いて表すなら、(1)式を全微分すると
dz = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂yz)dy
を得る。zの水準は元の水準におくので、dz=0とおくと、
0 = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
変形すると
-dy/dx =(∂f/∂x)/(∂f/∂y)
よって
MRS = (∂f/∂x)/(∂f/∂y) (2)
となる。これが経済学でつかわれる限界代替率の概念です。何を表しているかというと、関数(1)についてzの値をある一定水準に固定したとき、xを横軸にyを縦軸に取るなら、yはxの関数として、x-y平面上に(たとえば)右下がりの曲線としてあらわすことができる。限界代替率(2)はその曲線の傾き(の絶対値)を表していることになる。
例に挙げられているように関数(1)が
z =f(x,y)= xy
ならば、
∂f/∂x=y
∂f/∂y=x
より(2)は
MRS=y/x=z/x^2
右辺はxのみの関数としてあらわしたときの値。
No.1
- 回答日時:
z = x*y の「*」とは何でしょうか?
単なる「かけ算」の意味ですか?
そうであれば
z_x = ∂z/∂x = y
z_y = ∂z/∂y = x
ですから、
z_x / z_y = y/x
になります。
それは
z = x・y
だからそうなることであって、たとえば
z = x・y^2
だったら
z_x = ∂z/∂x = y^2
z_y = ∂z/∂y = 2x・y
ですから、
z_x / z_y = y^2 /(2x・y) = y/(2x)
になります。
>これにマイナスをかけて
>-y/x
>をしたものは、その双曲線の接線の傾きを表す。
双曲線を
y = z/x
という「xy 平面」のグラフとすれば(z は定数)、その導関数は
dy/dx = -z/x^2
ですから、x=a における接線の傾きは
-z/(a^2)
になります。
x が大きくなれば接線の傾きは「ねて来る = 水平に近くなる」、x → +0 になれば接線の傾きは「立って来る = 上下に近くなる」ことになります。
その傾きは「z の値」によって変わります。
x=1 のときの傾きは
-z/(1^2) = -z ①
です。
そもそも「 (1, 1) を通る」といっている段階で、z=1 に確定していますから、①は「-1」になります。
質問者さんは、なんか数学のことは何も分からずに、全くの誤解をしているみたいですね。(「理解していない」のではなく「誤解している」状態です)
「経済学で使われる限界代替率MRS」には全く関係なく、高校数学をきちんと復習した方がよいです。
私が使っている書籍では
MRS=ーdy/dx
MUxはUをxで偏微分したもの
MUyはUをyで偏微分したもの
公式 MRS=ーdy/dx=MUx/MUy
このーdy/dx=MUx/MUyの部分に対して背景の説明がありません。書籍記載の問題を使うと確かにそうなる。
つまり、任意のUに対して
(∂U/∂x)/(∂U/∂y)= ーdy/dx
が成立する理屈を知りたいです。
そう書いたつもりですが。
具体的にU =x*yと与えられていたら公式を使ってMRSを求めるのは、そりゃできるでしょ。そうでなければミクロ経済学の本を読もうとは思いませんよ。
なお、Uは原点に対して単調凸条件があります。その公式が成立するのはその条件下、とかの記述はありません。
経済学で扱う関数だから特異点とかありません。たぶん。この公式は書籍の最初の方で出てくるので、先に進んだらそれが使えない場面が出てくるかもしれない。
単に記号の操作で
(∂z/∂x)/(∂z/∂y)
∂zで割って
(1/∂x)/(1/∂y)
もちろん、そんなことはしてはならないのは知っている。簡略化して
∂y/∂x
変数が2つしかないのだから∂をdにして
dy/dx
数学者からは怒られるでしょうけど。
この操作が正しければ
(∂z/∂x)/(∂z/∂y)= +dy/dx
になりますよね。
公式では右辺はマイナスになっています。
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